Особо следует сказать о динамике движения тела, масса которого изменяется за счет присоединения или отделения частиц. Например, масса падающей дождевой капли изменяется вследствие испарения молекул или, наоборот, их конденсации, масса ракеты или самолета изменяется за счет выбрасывания продуктов сгорания; в принципе, к телам с изменяющейся массой можно отнести автомобиль, тепловоз и т.д.
2. Движение тела переменной массы в общем случае может изменяться, во-первых, за счет воздействия внешних сил, во-вторых, за счет взаимодействия тела с отделяющимися (или присоединяющимися) частицами. У одних тел решающую роль в изменении скорости играют внешние силы (автомобиль, тепловоз, винтовой самолет), у других – силы, возникающие при взаимодействии с отделяющимися частицами (реактивный самолет, ракета).
Закономерности движения тел переменной массы были подробно исследованы И.В.Мещерским и К.Э.Циолковским.
Силы, возникающие при отделении (или присоединении) частиц, называются реактивными.
Можно
доказать в самом общем случае, что
величина и направление реактивной силы,
возникающей при отделении (или
присоединении) частиц, зависит: 1) от
быстроты изменения массы тела
(в случае присоединения частиц масса
тела увеличивается, поэтому
>0,
в случае отделения частиц масса тела
уменьшается, поэтому
<0);
2)
от величины и направления скорости
(относительно тела), с которой частицы
покидают тело или присоединяются к
нему:
=
.
(10.1)
Как
видно из этой формулы, реактивная сила,
действующая на тело,
совпадает
по направлению с направлением
,
если частицы
присоединяются , и противоположна этой относительной скорости,
если частицы отделяются.
Поскольку на тело переменной массы всегда действует не только реактивная сила, но также и внешние силы (например, на ракету действует сила притяжения к Земле, Солнцу, сопротивление атмосферы и т.д.), ускорение такого тела будет определяться результирующей внешних и реактивных сил:
, (10.2)
здесь
- масса тела в данный момент времени;
- внешняя сила;
-
реактивная сила
Учитывая (10.1), соотношение (10.2) , можно переписать:
.
(10.3)
Последнее соотношение носит название уравнения Мещерского. Оно позволяет решать ряд важных прикладных задач механики.
11 Третий закон ньютона
1
.
Опыт показывает, что воздействие одного
тела на другое никогда не является
односторонним. Если тело 1 действует на
тело 2 с силой
,
то, в свою очередь, тело 2 действует на
тело 1 с силой
,
причем силы взаимодействия равны по
величине и противоположны по направлению
(рис.10):
=
-
.
(11.1)
В этом и заключается суть третьего закона Ньютона: силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по величине и противоположны по направлению.
2. Одну из сил взаимодействия обычно называют силой «действия», другую – силой «противодействия». Не следует, однако, думать, что «действие» и «противодействие» чем-либо принципиально отличаются друг от друга. Обе силы совершенно равноправны и имеют одинаковую природу. Так, если «действующая» сила обусловлена упругой деформацией, то сила «противодействия » обусловлена также деформацией другого тела, с которым данное тело взаимодействует, если сила «действия» имеет гравитационное происхождение, то «противодействие» вызвано той же причиной и т.д. Любую из сил мы вправе назвать «действующей» и любую – «противодействующей».
Изучая движение какого-либо тела, мы обычно указываем только те силы, которые действуют на это тело, и отвлекаемся от сил, приложенных к другим телам. Но эти силы существуют, и забывать о них, вообще говоря, не следует. Они позволяют лучше понять происхождение той или иной силы. Следует всегда помнить, что за каждой силой стоит реальное тело, с которым данное тело взаимодействует. Указывая силу, мы тем самым всегда указываем на два тела , которые взаимодействуют друг с другом.
Так как силы действия и противодействия приложены к разным телам, то они не могут уравновесить друг друга.
Если заменить силы в формуле (11.1) в соответствии со вторым законом Ньютона произведениями масс на ускорения, то третий закон Ньютона будет иметь вид:
или
, (11.2)
т.е. ускорения, сообщаемые друг другу взаимодействующими телами, обратно пропорциональны их массам и направлены в противоположные стороны.
Из третьего закона Ньютона непосредственно вытекает одно важное следствие: взаимодействие двух тел не может вызвать их перемещение в одном направлении.
Чтобы оба взаимодействующих тела пришли в движение в одном направлении, необходимо, чтобы на одно из тел или на оба одновременно подействовало третье тело.
ХАРАКТЕРИСТИКА НЕКОТОРЫХ СИЛ,
РАССМАТРИВАЕМЫХ В МЕХАНИКЕ
Дадим краткую характеристику сил, рассматриваемых в механике.
1. Упругая сила – сила, возникающая при деформации тела, т.е. при изменении его формы или объема, обусловленном действием внешни х сил.
Если после прекращения действия внешней силы, вызвавшей деформацию, тело полностью восстанавливает свою первоначальную форму и размеры, оно называется упругим. Упругими называются и деформации, возникающие в таком теле. Упругие тела обладают способностью оказывать сопротивление изменению их формы и объема. В таких телах возникают внутренние силы, препятствующие дальнейшему смещению частиц деформируемого тела, в результате чего внешние силы оказываются уравновешенными.
Для упругих деформаций справедлив закон Гука: упругая сила, возникающая при деформации (например, при сжатии или растяжении), пропорциональна величине деформации:
,
(12.1)
величина
смещения (растяжения или сжатия);
проекция
упругой силы на направление смещения.
Знак «минус» означает, что направление упругой силы всегда противоположно направлению смещения частиц тела (рис.11).
-
так называемый коэффициент
упругости
– константа, характеризующая и вещество,
и «геометрию» тела – его форму, размеры
и т.д.
2.
Сила всемирного тяготения
-
сила взаимногопритяжения,
действующая между любыми материальными
телами или частицами,
обусловлена гравитационным взаимодействием материальных тел.
Е
сли
размеры тел малы по сравнению с расстоянием
между ними
(материальные точки) или имеют сферическую форму и однородны, сила тяготения между ними численно равна
, (12.2)
(закон
всемирного тяготения Ньютона), где
и
- массы тел;
- расстояние между телами (в случае шаров
– расстояние между центра-ми шаров);
- гравитационная постоянная.
Так
как размеры обычных тел малы по сравнению
с радиусом Земли и так как Земля по своей
форме близка к шару, силу земного
тяготения, действующую на тело массой
,
можно вычислить по формуле:
, (12.3)
где
- масса Земли;
- расстояние от тела до центра Земли.
3.
Сила тяжести
- отвесная
составляющая силы земного тяготения
(на Луне – лунного тяготения и т.д.).
Сила тяжести во всех точках земной поверхности, кроме полюсов и экватора, не совпадает с силой тяготения по направлению и во всех точках, кроме полюсов, меньше ее по величине.
Объяснение.
Пусть
некоторое тело лежит на поверхности
Земли в точке, находящейся на широте
(рис.12). На тело действует сила тяготения
и реакция опоры
(эта сила обусловленаупругостью
опоры).
Равнодействующая этих сил сообщает
телу центростремительное ускорение
(тело вследствие вращения Земли вокруг
своей оси движется по окружности, лежащей
в плоскости, перпендикулярной земной
оси).Реакция опоры уравновешивает не
силу тяготения
,
а ее составляющую
,
которая и называется силой тяжести.
Как
видно из рис.12, силы
и
не равны по величине и не совпадают по
направлению.
4. Вес тела – это сила, с которой тело давит на горизонтальную опору или натягивает вертикальный подвес.
Причиной возникновения этой силы являются упругие деформации, появляющиеся при взаимодействии тела и опоры (деформации тела и опоры могут быть вызваны действием сил тяготения или каких-либо других сил).
Опыт
показывает, что любое тело оказывается
деформированным,
если оно движется относительно Земли
с ускорением
,не равным
ускорению свободного падения
.
Это ускорение, в частности, может
быть равно нулю , т.е. тело либо покоится относительно Земли, либо равномерно и прямолинейно движется.
Будучи
деформированным, стремясь восстановить
свою первоначальную форму, тело давит
на опору
с вполне определенной силой, которую и
называют весом тела -
.
Численно значение веса может значительно отличаться от числен-ного значения силы тяжести (мы говорим лишь о численных значениях этих сил потому, что они приложены к разным телам!). В одних случаях вес может быть больше силы тяжести (например, в космических кораблях во время разгона), в других – меньше ее (например, в самолетах при «проваливании» в воздушные «ямы»).
Вес тела может быть равен нулю. Это особое состояние , при котором тело не оказывает давления на опору (становится невесомым), называется невесомостью . В этом состоянии тело свободно от деформаций. Единственной силой, которая продолжает действовать на тело в состоянии невесомости, является сила тяготения.
Если тело и опора покоятся относительно Земли, то сила тяжести и вес тела численно равны! Это используется при нахождении силы тяжести тела.
Определив
силу, с которой тело растягивает пружину
неподвижного
динамометра или давит на чашку неподвижных
весов, т.е. его вес
,
мы тем самым найдем и численное значение
силы тяжести. Поэтому, когда задают вес
тела, например,
10
Н, то, в конечном счете, задают его силу
тяжести
=10H.
5.
Давление тела на опору приводит к его
деформации. Будучи деформированной,
опора оказывает действие на
тело.
Это
действие проявляется в возникновении
так называемой реакции
опоры,
которую
принято раскладывать на две составляющие
– нормальную
реакцию опоры
и силу трения
.
Нормальная реакция опоры - это упругая
сила,
действующая со стороны опоры на тело в
направлении, пер-пендикулярном плоскости
соприкосновения тела и опоры (Если тело
подвешено, то реакция подвеса направлена
вдоль
подвеса). Реакция опоры зависит от
степени
деформации
опоры.
Если опора горизонтальна , то нормальная реакция опоры и вес тела являются по отношению друг к другу силами действия и противодействия. Следовательно, определив из условий движения силу, с которой такая опора действует на тело, мы найдем, с какой силой тело давит на опору, т.е. его вес.
Рассмотрим пример.
На
тело, помещенное в кабине лифта (рис.13),
действует сила тяжести
и реакция опоры
.
При движении лифта с ускорением
,
направленным вертикальновверх
,
второй закон динамики для тела запишется
в виде
,
(12.4)
откуда
сила
,
а стало быть, и вес тела
будут равны
(12.5)
При
таком
направлении ускорения (не движения, а
ускорения!) вес тела оказывается больше
силы тяжести (
.
Если ускорение направлено вертикально вниз, то реакция опоры и вес тела оказы-ваются меньше силы тяжести:
.
(12.6)
В
состоянии невесомости вес и реакция
опоры равны нулю, единственной силой,
сообщающей и телу, и опоре ускорение,
будут иметь вид
,
но
.
Следовательно, в состоянии невесомости
тела двигаются с ускорением
=
.
6. Силы трения возникают при движении твердых тел, жидкостей и газов. Различают сухое (или внешнее) и вязкое (или внутреннее) трение. Сухое трение возникает при относительном перемещении соприкасающихся твердых тел, вязкое трение – при движении жидкостей и газов. В зависимости от характера перемещения одного твердого тела по поверхности другого различают трение скольжения и трение качения.
Сила трения скольжения возникает при скольжении одного тела по поверхности другого. Направлена эта сила по касательной к плоскости соприкосновения тел в сторону, противоположную направлению относительного движения.
Сила трения качения – сила, возникающая при качении одного тела по поверхности другого.
Сухое трение может возникнуть и между неподвижными телами – так называемое трение покоя.
Сила трения покоя (неполная сила трения) возникает тогда, когда внешняя сила, действующая на тело в плоскости соприкосновения, недостаточна для того, чтобы вызвать его скольжение.
Сила трения покоя всегда равна по величине и противоположна по направлению этой внешней силе .
Сила трения покоя максимальна, когда тело находится на грани скольжения.
Численное значение максимальной силы трения покоя определяется из закона Кулона :
, (12.7)
где
- коэффициент, зависящий от свойств
поверхностей соприкосновения и
определяемый экспериментально
(коэффициент
трения);
-
сила нормального
давления опоры на тело
(нормальная реакция опоры).
Если
внешняя сила достигает значения,
чуть-чуть превышающего
,
начинается скольжение.
Силу трения скольжения при малых скоростях движения можно приближенно вычислить по формуле (12.7).
Существенным отличием вязкого трения от сухого является то, что в жидкостях и газах трение покоя отсутствует . Если тело, погруженное в жидкость или газ, покоится, то со стороны жидкости или газа на тело могут действовать только силы, направленные перпендикулярно к поверхности соприкосновения.
Сила вязкого трения зависит от скорости (при небольших скоростях она пропорциональна первой степени скорости, при больших скоростях – более высоким степеням скорости).
13 МЕХАНИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ
1. Механический принцип относительности Галилея отвечает на вопрос: одинаково ли протекают механические процессы (при одинаковых условиях) в разных инерциальных системах. Иными словами, влия-ет ли равномерное и прямолинейное движение системы на ход механических процессов, происходящих внутри системы?
Чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо сравнить вид основных законов механики в разных инерциальных системах. Если окажется, что законы механики не изменяют своего вида при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, то это и будет означать, что механические явления протекают во всех инерциальных системах одинаково.
2. Для того чтобы осуществить переход от одной инерциальной системы отсчета к другой, мы должны знать правила , по которым осуществляется преобразование координат и времени, а также правила сложения скоростей, ускорений, сил и т.д. Преобразования координат и времени, в основе которых лежат классические представления о пространстве и времени , называются преобразованиями Галилея.
3.
Рассмотрим две инерциальные декартовы
системы координат
и
.
Будем полагать условно, что одна из
систем покоится (система
),
а другая (
)
равномерно и прямолинейно движется
относительно первой со скоростью
.
Из соображений простоты будем считать,
что в начальный момент времени (t
=0
)
начала координат обеих систем и
н
аправления
соответствующих осей совпадают (рис.14)
Движение
системы
происходит вдоль осиX
неподвижной системы без поворота осей
и
(во время движения системы
`
оси
и
,
и
остаютсяпараллельными
друг другу).
Найдем
связь между координатами одной и той
же материальной точки M
в этих двух системах. Пусть положение
точки относительно движущейся системы
в некоторый момент времени определяется
радиус-вектором
,
относительно неподвижной -
(рис.
15), перемещение системы
относительно системы
за промежуток времениt
,
прошедший от начального момента до
рассматриваемого, определяет радиус-вектор
.
По правилам векторного сложения
=
+
(13.1)
Перемещение подвижной системы
=
. (13.2)
Тогда 
=
+
,
Откуда 
=
-
. (13.3)
Спроектировав
все векторы соотношения (13.3) на оси
координат, мы найдем связь между
компонентами векторов
и
:
(Так
как
);
(13.4)
К
этим формулам следует добавить формулу
преобразования времени. Классическая
механика, как уже говорилось, полагает,
что время абсолютно.
Это значит, что показания двух часов,
связанных с системами
и
,
и выверенных (синхронизированных
)
для начального момента, должны быть
одинаковыми
для любых последующих моментов:
. (13.5)
Соотношения (13.3) – (13.5) и называются преобразованиями Галилея.
4 Из преобразований Галилея вытекает закон сложения скоростей в классической механике.
Продифференцируем (13.3) по времени:
,
где
-
скорость точкиотносительно
движущейся системы координат;
- скорость точкиотносительно
«неподвижной» системы.
Получим уравнение движения тела переменной массы (например, движение ракеты сопровождается уменьшением ее массы за счет истечения газов, образующихся от сгорания топлива).
Пусть в момент времени t масса ракеты m , а ее скорость ; тогда по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной m-dm , а скорость увеличится до величины Изменение импульса системы за время dt будет равно:
где - скорость истечения газов относительно ракеты. Раскрывая скобки в этом выражении, получим:
Если на систему действуют внешние силы, то т.е. или Тогда 
или
(2.12)
где член называют реактивной силой . Если вектор противоположен , то ракета ускоряется, а если совпадает с , то тормозится.
Таким образом, уравнение движения тела переменной массы имеет следующий вид:
(2.13)
Уравнение (2.13) называется уравнением И.В. Мещерского .
Применим уравнение (2.12) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Тогда, полагая и считая, что ракета движется прямолинейно (скорость истечения газов постоянна), получим:
где С - постоянная интегрирования, определяемая из начальных условий. Если в начальный момент времени , а стартовая масса ракеты составляет m 0 , то .Следовательно,
(2.14)
Полученное соотношение называют формулой К.Э. Циолковского . Из выражения (2.14) следуют следующие практические выводы:
а) чем больше конечная масса ракеты m , тем больше должна быть стартовая масса m 0 ;
б) чем больше скорость истечения газов u , тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.
Уравнения Мещерского и Циолковского справедливы для случаев, когда скорости и намного меньше скорости света с .
Краткие выводы
· Динамика - раздел механики, предметом изучения которого являются законы движения тел и причины, которые вызывают или изменяют это движение.
· В основе динамики материальной точки и поступательного движения твердого тела лежат законы Ньютона . Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета и формулируется следующим образом: существуют такие системы отсчета, относительно которых поступательно движущиеся тела сохраняют свою скорость постоянной, если на них не действуют другие тела или действие других тел компенсируется .
· Инерциальной называется система отсчета, относительно которой свободная материальная точка, на которую не действуют другие тела, движется равномерно и прямолинейно, или по инерции. Система отсчета, движущаяся относительно инерциальной системы отсчета с ускорением, называется неинерциальной .
· Свойство любого тела оказывать сопротивление изменению его скорости называется инертностью . Мерой инертности тела при его поступательном движении является масса .
· Сила - это векторная физическая величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.
· Второй закон Ньютона формулируется следующим образом: ускорение, приобретаемое телом (материальной точкой), пропорционально равнодействующей приложенных сил, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе тела :
Или 
Более общая формулировка второго закона Ньютона гласит: скорость изменения импульса тела (материальной точки) равна равнодействующей приложенных сил :
где - импульс тела. Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета.
· Всякое действие материальных точек (тел) друг на друга взаимно. Силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль соединяющей точки прямой (третий закон Ньютона) :
Эти силы приложены к разным точкам, действуют парами и являются силами одной природы.
· В замкнутой механической системе выполняется фундаментальный закон природы - закон сохранения импульса : импульс замкнутой системы материальных точек (тел) с течением времени не изменяется :
где n - число материальных точек в системе. Замкнутой (изолированной ) называется механическая система, на которую не действуют внешние силы.
· Закон сохранения импульса является следствием однородности пространства : при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические свойства не изменяются.
Вопросы для самоконтроля и повторения
1. Какие системы отсчета называются инерциальными? Почему система отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальна?
2. Какое свойство тела называется инертностью? Что является мерой инертности тела при его поступательном движении?
3. Что такое сила, чем она характеризуется?
4. Какие основные задачи решает ньютоновская динамика?
5. Сформулируйте законы Ньютона. Является ли первый закон Ньютона следствием второго закона?
6. В чем заключается принцип независимости действия сил?
7. Что называется механической системой? Какие системы являются замкнутыми (изолированными)?
8. Сформулируйте закон сохранения импульса. В каких системах он выполняется?
9. Каким свойством пространства обусловлена справедливость закона сохранения импульса?
10. Выведите уравнение движения тела переменной массы. Какие практические выводы позволяет сделать формула Циолковского?
Примеры решения задач
Задача 1 . Грузы одинаковой массы (m 1 =m 2 =0,5 кг) соединены нитью и перекинуты через невесомый блок, укрепленный на конце стола (рис. 2.2). Коэффициент трения груза m 2 о стол µ =0,15. Пренебрегая трением в блоке, определить: а) ускорение, с которым движутся грузы; б) силу натяжения нити.
Дано: m 1 =m 2 =0,5 кг; µ =0,15.
Найти: а , Т .
 |
По второму закону Ньютона уравнения
движения грузов имеют вид:
Ответ: а =4,17 м/с 2 , Т =2,82 Н.
Задача 2 . Снаряд массой 5 кг, вылетевший из орудия, в верхней точке траектории имеет скорость 300 м/с. В этой точке он разорвался на два осколка, причем больший осколок массой 3 кг полетел в обратном направлении со скоростью 100 м/с. Определить скорость второго, меньшего, осколка.
Дано: m =5 кг; v =300 м/с; m 1 =3 кг; v 1 =100 м/с.
Найти: v 2 .
По закону сохранения импульса 
где 
м/с.
Ответ: v 2 =900 м/с.
Задачи для самостоятельного решения
1. Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону , где С =2 м/с 2 , D =0,4 м/с 3 . Определить силу, действующую на тело в конце первой секунды движения.
2. К нити подвешен груз массой 500 г. Определить силу натяжения нити, если нить с грузом: а) поднимать с ускорением 2 м/с 2 ; б) опускать с тем же ускорением.
3. На тело массой 10 кг, лежащее на наклонной плоскости (угол α равен 20 0), действует горизонтально направленная сила 8 Н. Пренебрегая трением, определить: а) ускорение тела; б) силу, с которой тело давит на плоскость.
4. С вершины клина, длина которого 2 м и высота 1 м, начинает скользить небольшое тело. Коэффициент трения между телом и клином μ=0,15. Определить: а) ускорение, с которым движется тело; б) время прохождения тела вдоль клина; в) скорость тела у основания клина.
5. Два груза с неравными массами m 1 и m 2 (m 1 > m 2 ) подвешены на легкой нити, перекинутой через неподвижный блок. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая трением в оси блока, определить: а) ускорение грузов; б) силу натяжения нити.
6. Платформа с песком общей массой М =2 т стоит на рельсах на горизонтальном участке пути. В песок попадает снаряд массой m =8 кг и застревает в нем. Пренебрегая трением, определить, с какой скоростью будет двигаться платформа, если в момент попадания скорость снаряда 450 м/с, а ее направление - сверху вниз под углом 30 0 к горизонту.
7. На железнодорожной платформе, движущейся по инерции со скоростью 3 км/ч, укреплено орудие. Масса платформы с орудием 10 т. Ствол орудия направлен в сторону движения платформы. Снаряд массой 10 кг вылетает из ствола под углом 60 0 к горизонту. Определить скорость снаряда (относительно Земли), если после выстрела скорость платформы уменьшилась в 2 раза.
8. Человек массой 70 кг находится на корме лодки, длина которой 5 м и масса 280 кг. Человек переходит на нос лодки. На какое расстояние лодка передвинется по воде относительно дна?
9. Шарик массой 200 г ударился о стенку со скоростью 10 м/с и отскочил от нее с такой же скоростью. Определить импульс, полученный стенкой, если до удара шарик двигался под углом 30 0 к плоскости стенки.
10. Два шарика массами 2 и 4 кг двигаются со скоростями соответственно 5 и 7 м/с. Определить скорости шаров после прямого неупругого удара в случаях: а) больший шар догоняет меньший; б) шары двигаются навстречу друг другу.
ГЛАВА 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ
Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например масса ракеты уменьшается вследствие истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п.
Выведем уравнение движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Если в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость v, то по истечении времени dtее масса уменьшится на dm и станет равной т-dm, а скорость станет равной v+dv. Изменение импульса системы за отрезок времени dt
где u - скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда
(учли, что dmdv - малый высшего порядка малости по сравнению с остальными). Если на систему действуют внешние силы, то dp=Fdt, поэтому
Второе слагаемое в правой части (10.1) называют реактивной силой F p . Если он противоположен v по направлению, то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормозится.
Таким образом, мы получили уравнение движения тела переменной массы
(10.2)
которое впервые было выведено И. В. Мещерским (1859-1935).
Идея применения реактивной силы для создания летательных аппаратов высказывалась в 1881 г. Н. И. Кибальчичем (1854-1881). К. Э. Циолковский (1857-1935) в 1903 г. опубликовал статью, где предложил теорию движения ракеты и основы теории жидкостного реактивного двигателя. Поэтому его считают основателем отечественной космонавтики.
Применим уравнение (10.1) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая F=0 и считая, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим
Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее стартовая масса то, то С = u ln m 0 . Следовательно,
(10.3)
Это соотношение называется формулой Циолковского. Она показывает, что: 1) чем больше конечная масса ракеты т, тем больше должна быть стартовая масса ракеты m 0 ; 2) чем больше скорость истечения и газов, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.
Выражения (10.2) и (10.3) получены для нерелятивистских движений, т. е. для случаев, когда скорости v и u малы по сравнению со скоростью с распространения света в вакууме.
Задачи
2.1. По наклонной плоскости с углом наклона а к горизонту, равным 30°, скользит тело. Определить скорость тела в конце третьей секунды от начала скольжения, если коэффициент трения 0,15.
2.2. Самолет описывает петлю Нестерова радиусом 80 м. Какова должна быть наименьшая скорость самолета, чтобы летчик не оторвался от сиденья в верхней части петли?
2.3. Блок укреплен на вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы a = 30° и a = 45°. Гири равной массы (m 1 = m 2 =2 кг) соединены нитью, перекинутой через блок. Считая нить и блок невесомыми, принимая коэффициенты трения гирь о наклонные плоскости равными f 1 = f 2 =f = 0,1 и пренебрегая трением в блоке, определить. 1) ускорение,
с которым движутся гири, 2) силу натяжения нити.
2.4. На железнодорожной платформе установлена безоткатная пушка, из которой производится выстрел вдоль полотна под углом a=45° к горизонту. Масса платформы с пушкой Л/=20 т, масса снаряда т=10 кг, коэффициент трения между колесами платформы и рельсами f = 0,002. Определить скорость снаряда, если после выстрела платформа откатилась на расстояние s=3 м. [ 
м/с]
2.5. На катере массой т=5 т находится водомет, выбрасывающий m=25 кг/с воды со скоростью u = 7 м/с относительно катера назад. Пренебрегая сопротивлением движению катера, определить: 1) скорость катера через 3 мин после начала движения, 2) предельно возможную скорость катера.
Глава 3
Работа и энергия
Энергия, работа, мощность
Энергия - универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. С раз личными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и пр. В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холодное), в других - переходит в иную форму (например, в результате трения механическое движение превращается в тепловое). Однако существенно, что во всех случаях энергия, отданная (в той или иной форме) одним телом другому телу, равна энергии, полученной последним телом.
Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы.
Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила F, которая составляет некоторый угол а с направлением перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции силы F, на направление перемещения (F s =Fcos a), умноженной на перемещение точки приложения силы:
В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению, поэтому формулой (11.1) пользоваться нельзя. Если, однако, рассмотреть элементарное перемещение dr, то силу Г можно считать постоянной, а движение точки ее приложения - прямолинейным. Элементарной работой силы F на перемещении dr называется скалярная величина
dA = Fdr = Fcosa ds = F 2 ds,
где a - угол между векторами F и dr; ds=|dr| - элементарный путь; F s - проекция вектора F на вектор dr (рис. 13).
Работа силы на участке траектории от точки 1до точки 2 равна алгебраической сумме элементарных работ на отдельных бесконечно малых участках пути. Эта сумма приводится к интегралу
(11.2)
Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость силы F s от пути t вдоль траектории 1 -2. Пусть эта зависимость представлена графически (рис. 14), тогда искомая работа А определяется на графике площадью заштрихованной фигуры. Если, рапример, тело движется прямолинейно, сила F= const и а = const, то получим
где s - пройденный телом путь (см. также формулу (11.1)).
Из формулы (11.1) следует, что при a < p/2 работа силы положительна, в этом случае составляющая F, совпадает по направлению с вектором скорости движения v (см. рис. 13). Если a > p/2, то работа силы отрицательна. При a = p/2 (сила направлена перпендикулярно перемещению) работа силы равна нулю.
Единица работы - джоуль (Дж): 1 Дж - работа, совершаемая силой 1 Н на пути 1 м(1 Дж=1 Н-м).
Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности:
(11.3)
За время dt сила F совершает работу Fdr, и мощность, развиваемая этой силой, в данный момент времени
 |
т. е. равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения этой силы; N - величина скалярная.
Единица мощности - ватт (Вт): 1 Вт - мощность, при которой за время 1 с совершается работа 1 Дж (1 Вт=1 Дж/с).
Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например масса ракеты уменьшается за счет истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п.
Выведем уравнение движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Если в момент времени t масса ракеты т, а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm
и станет равной т - dm, а скорость станет равной v +dv . Изменение импульса системы за отрезок времени dt
dp = [(m-dm) (v +dv )+dm (v + u )]- m v ,
где и - скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда
dp = mdv + u dm
(учли, что dm dv - малый высшего порядка малости по сравнению с остальными).
Если на систему действуют внешние силы, то dp = F dt, поэтому
F dt = m dv + u dm,
mdv /dt=F -u dm/dt. (10.1)
Член -u dm/dt называют реактивной силой
F p . Если u противоположен v , то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормозится.
Таким образом, мы получили уравнение движения тела переменной массы
ma =F + F p , (10.2)
которое впервые было выведено И. В.Мещерским (1859-1935).
Идея применения реактивной силы для создания летательных аппаратов высказывалась в 1881 г. Н. И. Кибальчичем (1854-1881). К.Э.Циолковский (1857- 1935) в 1903 г. опубликовал статью, где
предложил теорию движения ракеты и основы теории жидкостного реактивного двигателя. Поэтому его считают основателем отечественной космонавтики.
Применим уравнение (10.1) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая F = 0 и считая, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим
dv dm т dv/dt=-udm/dt. откуда
Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее стартовая масса то, то С = uln m 0 . Следовательно,
v = uln(m 0 /m). (10.3)
Это соотношение называется формулой Циолковского. Она показывает, что: 1) чем больше конечная масса ракеты т, тем больше должна быть стартовая масса ракеты то; 2) чем больше скорость истечения и газов, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.
Выражения (10.2) и (10.3) получены для нерелятивистских движений, т. е. для случаев, когда скорости v и u малы по сравнению со скоростью света с.
Контрольные вопросы
Какая система отсчета называется инерциальной? Почему система отсчета, связанная с Землей, строго говоря, неинерциальна?
Что такое сила? Как ее можно охарактеризовать?
Является ли первый закон Ньютона следствием второго закона? Почему? « Сформулировав три закона Ньютона, покажите, какова взаимосвязь между этими законами. » В чем заключается принцип независимости действия сил?
Какова физическая сущность трения? В чем отличие сухого трения от жидкого? Какие виды внешнего (сухого) трения Вы знаете?
Что называется механической системой? Какие системы являются замкнутыми? Является ли Вселенная замкнутой системой? Почему?
В чем заключается закон сохранения импульса? В каких системах он выполняется? Почему он является фундаментальным законом природы?
Каким свойством пространства обусловливается справедливость закона сохранения импульса?
Что называется центром масс системы материальных точек? Как движется центр масс замкнутой системы?
2.1. По наклонной плоскости с углом наклона а к горизонту, равным 30°, скользит тело. Определить скорость тела в конце третьей секунды от начала скольжения, если коэффициент трения 0,15. [ 10,9 м/с]
2.2. Самолет описывает петлю Нестерова радиусом 80 м. Какова должна быть наименьшая скорость самолета, чтобы летчик не оторвался от сиденья в верхней части петли?
2.3. Блок укреплен на вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы a=30° и beta=45°. Гири равной массы (m 1 = m 2 = 2 кг) соединены нитью, перекинутой через блок. Считая нить и блок невесомыми, принимая коэффициенты трения гирь о наклонные плоскости равными f 1 =f 2 =f =0,l и пренебрегая трением в блоке, определить: 1) ускорение, с которым движутся гири; 2) силу натяжения нити.
2.4. На железнодорожной платформе установлена безоткатная пушка, из которой производится выстрел вдоль полотна под углом = 45 ° к горизонту. Масса платформы с пушкой М = 20 т, масса снаряда m=10 кг, коэффициент трения между колесами платформы и рельсами f = = 0,002. Определить скорость снаряда, если после выстрела платформа откатилась на расстояние s = 3 м. [ v 0 = МV2fgs/(m cos) = 970 м/с]
2.5. На катере массой m = 5т находится водомет, выбрасывающий = 25 кг/с воды со скоростью u = 7 м/с относительно катера назад. Пренебрегая сопротивлением движению катера, определить: 1) скорость катера через 3 мин после начала движения; 2) предельно возможную скорость катера.
В классической механике масса каждой точки или частицы системы считается при движении величиной постоянной. Однако в некоторых случаях состав частиц, образующих данную систему или тело, может с течением времени изменяться (отдельные частицы могут отделяться от тела или присоединяться к нему извне); вследствие этого будет изменяться и суммарная масса рассматриваемого тела. Задачи, в которых имеет место подобное присоединение или отделение единичных масс, нам уже встречались (см. выше задачи 126, 127 или задачу 86 в § 78). В этом параграфе будет рассмотрен другой практически важный случай, когда процесс отделения от тела или присоединения к нему частиц происходит непрерывно. Тело, масса М которого непрерывно изменяется с течением времени вследствие присоединения к нему или отделения от него материальных частиц, будем называть телом переменной массы. Для тела переменной массы
где - непрерывная функция времени.
Когда такое тело движется поступательно (или когда вращательная часть его движения не учитывается), это тело можно рассматривать как точку переменной массы.
Движение ракеты. Найдем уравнение движения тела, масса которого со временем непрерывно убывает, на практически важном примере движения ракеты, считая ее точкой переменной массы. Обозначим относительную (по отношению к корпусу ракеты) скорость истечения продуктов горения из ракеты через и. Чтобы исключить силы давления, выталкивающие продукты горения, сделав эти силы внутренними, рассмотрим в некоторый момент времени t систему, состоящую из самой ракеты и частицы, отделяющейся от нее в течение промежутка времени (рис. 294). Масса этой частицы численно равна величине на которую за время изменяется масса ракеты. Так как М - величина убывающая, то и, следовательно,
Уравнение (20) для рассматриваемой системы можно представить в виде
где - геометрическая сумма приложенных к ракете внешних сил.
Если скорость v ракеты за время изменяется на величину то количество движения рассматриваемой системы получает при этом приращение . У частицы в момент t количество движения равно (она еще является частью тела), а в момент оно будет так как частица получает дополнительную скорость .
Следовательно, за время количество движения частицы изменится на величину (поскольку ), а для всей системы получится . Подставляя это значение в равенство (24) и деля обе его части на dt, найдем окончательно
Уравнение (25) представляет собой в векторной форме дифференциальное уравнение движения точки переменной массы, называемое уравнением Мещерского.
Учитывая, что последнее слагаемое в правой части (25) по размерности также является силой, и обозначая его через , мы можем уравнение (25) представить еще в виде
Таким образом, реактивный эффект сводится к тому, что на ракету при ее движении дополнительно действует сила Ф, называемая реактивной силой.
Величина численно равна массе топлива, расходуемого за единицу времени, т. е. секундному расходу массы топлива .
Таким образом, если учесть знак, то
Отсюда следует, что
т. е. реактивная сила равна произведению секундного расхода массы топлива на относительную скорость истечения продуктов его сгорания и направлена противоположно этой скорости.
Некоторые другие случаи движения тела переменной массы. Если рассмотреть движение тела, масса М которого с течением времени вследствие непрерывного присоединения к нему частиц возрастает считая это тело тоже точкой переменной массы, а относительную скорость присоединяющихся частиц обозначить по-прежнему и, то нетрудно проверить, что для такого тела уравнение движения сохранит вид (25) или (26), только в уравнении (26), поскольку теперь , будет
Наконец, для тела, у которого одновременно происходит непрерывное отделение и присоединение частиц, в уравнении (26) получится
где - относительные скорости отделяющихся и присоединяющихся частиц соответственно; - отделяющаяся, - присоединяющаяся за секунду масса.
Такой случай имеет, например, место для самолета, на котором установлен воздушно-реактивный двигатель, засасывающий воздух из атмосферы и выбрасывающий его вместе с продуктами горения топлива. Так как доля этих продуктов в отбрасываемом воздухе очень мала (не превышает ), то здесь практически можно считать Кроме того, очевидно, что относительная скорость присоединяемой массы воздуха где v - скорость самолета. Тогда, полагая , получим соответственно для вектора Ф и его модуля Ф значения:
При определении модуля реактивной силы принято, что скорости v (самолета) и и (отбрасываемого воздуха) направлены в прямо противоположные стороны.
Формула справедлива и для гидрореактивпого двигателя, создающего тягу за счет засасывания и выброса воды.
Формула Циолковского. Найдем, как происходит движение ракеты под действием только одной реактивной силы, считая а относительную скорость истечения и постоянной.
Направим координатную ось в сторону движения (см. рис. 294).
Тогда и уравнение (25) в проекции на ось если в нем положить примет вид
Интегрируя это уравнение и считая, что в начальный момент масса а скорость и направлена вдоль оси получим
Обозначим массу корпуса ракеты со всем оборудованием через а всю массу топлива через Тогда, очевидно, а масса ракеты, когда все топливо будет израсходовано, будет равна Подставляя эти значения в равенство (28), получим формулу Циолковского, определяющую скорость ракеты, когда все ее топливо будет израсходовано (скорость в конце так называемого активного участка): связано с видом топлива и конструкцией ракеты. Применяемые жидкие топлива позволяют получить
Но значения у одноступенчатых ракет таковы, что они не дают скоростей, необходимых для космических полетов (см. § 98). Получить необходимую скорость можно путем использования составной (многоступенчатой) ракеты, части (ступени) которой по мере израсходования содержащегося в них топлива автоматически отделяются от последней ступени, получающей в результате дополнительную (начальную) скорость.
Подобная многоступенчатая ракета была применена для запуска первых в мире советских искусственных спутников Земли (4 октября и 3 ноября 1957 г.), а также при многочисленных пусках других космических объектов, в том числе кораблей, на которых совершают свои полеты космонавты.
