Линейные уравнения (уравнения первой степени) с двумя неизвестными
Определение 1 . Линейным уравнением (уравнением первой степени) с двумя неизвестными x и y называют уравнение, имеющее вид
Решение . Выразим из равенства (2) переменную y через переменную x :
Из формулы (3) следует, что решениями уравнения (2) служат все пары чисел вида
где x – любое число.
Замечание . Как видно из решения примера 1, уравнение (2) имеет бесконечно много решений . Однако важно отметить, что не любая пара чисел (x ; y ) является решением этого уравнения. Для того, чтобы получить какое-нибудь решение уравнения (2), число x можно взять любым, а число y после этого вычислить по формуле (3).
Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными
Определение 3 . Системой из двух линейных уравнений с двумя неизвестными x и y называют систему уравнений, имеющую вид
где a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 – заданные числа.
Определение 4 . В системе уравнений (4) числа a 1 , b 1 , a 2 , b 2 называют , а числа c 1 , c 2 – свободными членами .
Определение 5 . Решением системы уравнений (4) называют пару чисел (x ; y ) , являющуюся решением как одного, так и другого уравнения системы (4).
Определение 6 . Две системы уравнений называют равносильными (эквивалентными) , если все решения первой системы уравнений являются решениями второй системы, и все решения второй системы являются решениями первой системы.
Равносильность систем уравнений обозначают, используя символ «»
Системы линейных уравнений решают с помощью , который мы проиллюстрируем на примерах.
Пример 2 . Решить систему уравнений
Решение . Для того, чтобы решить систему (5) исключим из второго уравнения системы неизвестное х .
С этой целью сначала преобразуем систему (5) к виду, в котором коэффициенты при неизвестном x в первом и втором уравнениях системы станут одинаковыми.
Если первое уравнение системы (5) умножить на коэффициент, стоящий при x во втором уравнении (число 7 ), а второе уравнение умножить на коэффициент, стоящий при x в первом уравнении (число 2 ), то система (5) примет вид
Теперь совершим над системой (6) следующие преобразования:
- из второго уравнения вычтем первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную разность.
В результате система (6) преобразуется в равносильную ей систему
Из второго уравнения находим y = 3 , и, подставив это значение в первое уравнение, получаем
Ответ . (-2 ; 3) .
Пример 3 . Найти все значения параметра p , при которых система уравнений
а ) имеет единственное решение;
б ) имеет бесконечно много решений;
в ) не имеет решений.
Решение . Выражая x через y из второго уравнения системы (7) и подставляя полученное выражение вместо x в первое уравнение системы (7), получим
Исследуем решения системы (8) в зависимости от значений параметра p . Для этого сначала рассмотрим первое уравнение системы (8):
| y (2 - p ) (2 + p ) = 2 + p | (9) |
Если 
, то уравнение (9) имеет единственное решение
Таким образом, в случае, когда , система (7) имеет единственное решение
Если p = - 2 , то уравнение (9) принимает вид
и его решением является любое число 
. Поэтому решением системы (7) служит бесконечное множество
всех пар чисел
,
где y - любое число.
Если p = 2 , то уравнение (9) принимает вид
и решений не имеет, откуда вытекает, что и система (7) решений не имеет .
Системы из трех линейных уравнений с тремя неизвестными
Определение 7 . Системой из трех линейных уравнений с тремя неизвестными x , y и z называют систему уравнений, имеющую вид
где a 1 , b 1 , c 1 , d 1 , a 2 , b 2 , c 2 , d 2 , a 3 , b 3 , c 3 , d 3 – заданные числа.
Определение 8 . В системе уравнений (10) числа a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 , a 3 , b 3 , c 3 называют коэффициентами при неизвестных , а числа d 1 , d 2 , d 3 – свободными членами .
Определение 9 . Решением системы уравнений (10) называют тройку чисел (x ; y ; z ) , при подстановке которых в каждое из трех уравнений системы (10) получается верное равенство.
Пример 4 . Решить систему уравнений
Решение . Будем решать систему (11) при помощи метода последовательного исключения неизвестных .
Для этого сначала исключим из второго и третьего уравнений системы неизвестное y , совершив над системой (11) следующие преобразования:
- первое уравнение системы оставим без изменений;
- ко второму уравнению прибавим первое уравнение и заменим второе уравнение системы на полученную сумму;
- из третьего уравнения вычтем первое уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.
В результате система (11) преобразуется в равносильную ей систему
Теперь исключим из третьего уравнения системы неизвестное x , совершив над системой (12) следующие преобразования:
- первое и второе уравнения системы оставим без изменений;
- из третьего уравнения вычтем второе уравнение и заменим третье уравнение системы на полученную разность.
В результате система (12) преобразуется в равносильную ей систему
Из системы (13) последовательно находим
z = - 2 ; x = 1 ; y = 2 .
Ответ . (1 ; 2 ; -2) .
Пример 5 . Решить систему уравнений
Решение . Заметим, что из данной системы можно получить удобное следствие , сложив все три уравнения системы:
Для системы составляем главный определитель
и вычисляем его.
Затем составляем дополнительные определители
и вычисляем их.
По правилу Крамера решение системы находят по формулам
; 
;
,если
1)
Вычислим:
По формулам Крамера находим:
Ответ: (1; 2; 3)
2)
Вычислим:
Так как главный
определитель
,
а хотя бы один дополнительный не равен
нулю (в нашем случае
),
то решения у системы нет.
3)
Вычислим:
Так как все
определители равны нулю, то система
имеет бесконечное множество решений,
которое можно найти так
Решите самостоятельно системы:
а)
б)
Ответ: а) (1; 2; 5)
б)
;
;
Практическое занятие № 3 на тему:
Скалярное произведение двух векторов и его приложение
1. Если дан
и
,
то скалярное произведение находим по
формуле:
∙
2.Если, то скалярное произведение этих двух векторов находим по формуле
1. Даны два вектора
и
Их скалярное произведение находим так:
.
2. Даны два вектора:
={2;3;–4}
={1;
–5; 6}
скалярное произведение находят так:
3.
,
3.1 Нахождение работы постоянной силы на прямолинейном участке пути
1) Под действием силы в 15Н тело переместилось по прямой на 2 метра. Угол между силой и направлением перемещения =60 0 . Вычислить работу силы по перемещению тела.
Дано:
Решение:
2) Дано: 
Решение:
3) Из точки М(1; 2; 3) в точку N(5; 4; 6) переместилось тело под действием силы 60Н. Угол между направлением силы и вектором перемещения =45 0 . Вычислить работу, совершаемую этой силой.
Решение: находим
вектор перемещения
Находим модуль вектора перемещения:
По формуле
находим работу:
3.2 Определение ортогональности двух векторов
Два вектора
ортогональны, если
,
то есть
так как
1) 
–не ортогональны
2) 
–ортогональны
3) Определить, при
каком
векторы
и
взаимно-ортогональны.
Так как
,
то
,
значит
Решите самостоятельно:
а)
.
Найти их скалярное произведение.
б) Вычислить, какую
работу производит сила
,
если точка ее приложения, двигаясь
прямолинейно, переместилась из точки
M
(5; -6; 1) в точку N
(1; -2; 3)
в) Определить,
ортогональны ли вектора
и
Ответы: а) 1 б) 16 в) да
3.3.Нахождение угла между векторами
1)
.
Найти
.
Находим 
подставляем в формулу:
.
1). Даны вершины треугольника А(3; 2; –3), В(5; 1; –1), С(1; –2; 1). Найти угол при вершине А.
Подставим в формулу:
Решите самостоятельно:
Даны вершины треугольника А(3; 5; -2), В(5; 7; -1), С(4; 3; 0). Определить внутренний угол при вершине А.
Ответ: 90 о
Практическое занятие № 4 на тему:
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ.
Формула для нахождения векторного произведения двух векторов:
|
|
|
|
|
имеет вид |
||
1) Найти модуль векторного произведения:
Составим определитель и вычислим его (по правилу Саррюса или по теореме о разложении определителя по элементам первой строки).
1-ый способ: по правилу Саррюса
2-й способ: разложим определитель по элементам первой строки.
2) Найти модуль векторного произведения:
4.1. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА, ПОСТРОЕННОГО НА ДВУХ ВЕКТОРАХ.
1) Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах
2). Найти векторное произведение и его модуль
4.2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА
Пример: даны вершины треугольника А(1; 0; -1), В(1; 2; 0), С(3; -1; 1). Вычислить площадь треугольника.
Сначала найдем координаты двух векторов, выходящих из одной вершины.
Найдем их векторное произведение
4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛЛИНЕАРНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ
Если вектора
и
коллинеарны, то
, т. е. координаты
векторов должны быть пропорциональны.
а) Даны вектора::
,
.
Они коллинеарны
потому, что
и
после сокращения
каждой дроби получается соотношение
б) Даны вектора:
.
Они не коллинеарны,
потому, что
или
Решите самостоятельно:
а) При каких
значениях m
и n
вектора
коллинеарны?
Ответ:
;
б) Найти векторное
произведение и его модуль
,
.
Ответ:
,
.
Практическое занятие № 5 на тему:
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Задача № 1. Найти
уравнение прямой, проходящей через
точку А(-2; 3) параллельно прямой
1. Найдем угловой
коэффициент прямой
.
- это уравнение
прямой с угловым коэффициентом и
начальной ординатой (
).
Поэтому
.
2. Так как прямые
MN
и АС
параллельны, то их угловые коэффициенты
равны, т.е.
.
3. Для нахождения уравнения прямой АС воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом:
.
В эту формулу вместо
и
подставим координаты точки А(-2; 3), вместо
подставим
– 3. В результате подстановки получим:
Ответ:
Задача №2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(1; –2) параллельно прямой .
1. Найдем угловой коэффициент прямой .
Это общее уравнение прямой, которое в
общем виде задается формулой
.
Сравнивая уравнения
и
находим, что А
= 2, В = –3. Угловой
коэффициент прямой, заданной уравнением
,
находится по формуле
.
Подставив в эту формулу А = 2 и В = –3,
получим угловой коэффициент прямой MN.
Итак,
.
2. Так как прямые
MN
и КС параллельны, то их угловые коэффициенты
равны:
.
3. Для нахождения
уравнения прямой КС воспользуемся
формулой уравнения прямой, проходящей
через точку с данным угловым коэффициентом
.
В эту формулу вместо
и
подставим координаты точки К(–2; 3),
вместо
Задача № 3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку К(–1; –3) перпендикулярно прямой .
1. – это общее уравнение прямой, которое в общем виде задается формулой .
и находим, что А = 3, В = 4.
Угловой коэффициент
прямой, заданной уравнением
,
находится по формуле:
.
Подставив в эту формулу А
= 3 и В = 4, получим
угловой коэффициент прямой MN:
.
2. Так как прямые MN и КD перпендикулярны, то их угловые коэффициенты обратно пропорциональны и противоположны по знаку:
.
3. Для нахождения уравнения прямой КD воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через точку с данным угловым коэффициентом
.
В эту формулу вместо
и
подставим координаты точки К(–1;
–3), вместо
подставим
.
В результате подстановки получим:
Решите самостоятельно:
1. Найти уравнение
прямой, проходящей через точку К(–4; 1)
параллельно прямой
.
Ответ:
.
2. Найти уравнение
прямой, проходящей через точку К(5; –2)
параллельно прямой
.
3. Найти уравнение
прямой, проходящей через точку К(–2; –6)
перпендикулярно прямой
.
4. Найти уравнение
прямой, проходящей через точку К(7; –2)
перпендикулярно прямой
.
Ответ:
.
5. Найти уравнение
перпендикуляра, опущенного из точки
К(–6; 7) на прямую
.
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Уравнения с тремя неизвестными частое явление в математике. Способов решений данного рода уравнений довольно много и в большинстве случаев львиная их часть дополняется еще 2 уравнениями/условиями. Выбор способа решения напрямую зависит от конкретного уравнения.
Если в вашей системе имеются только 2 неизвестные из 3, то, скорее всего удобным решением данной системы будет выражение одних переменных через другие с их подстановкой в уравнение с 3 неизвестными. Все это делается для того, чтобы преобразовать его в обычное уравнение только с 1 неизвестной, решение которого даст число, которое можно будет подставить на место неизвестного и получить конечный результат по всем остальным неизвестным.
Существуют системы уравнений, решаемых вычитанием из одного уравнения другого. Это возможно в том случае, если есть возможность умножения одного из выражений на переменную/значение, позволяющее при вычитании сократить несколько неизвестных. Однако стоит помнить, что при умножении и вычитании на число нужно выполнять действия с обеими частями выражения.
Где решить уравнение с 3 неизвестными онлайн?
Решить уравнение с тремя неизвестным онлайн решателем вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
