Уравнения с модулями, методы решений. Часть 1.
Прежде чем приступать к непосредственному изучению техник решения таких уравнений, важно понять суть модуля, его геометрическое значение. Именно в понимании определения модуля и его геометрическом смысле, заложены основные методы решения таких уравнений. Так называемый, метод интервалов при раскрытии модульных скобок, настолько эффективен, что используя его возможно решить абсолютно любое уравнение или неравенство с модулями. В этой части мы подробно изучим два стандартных метода: метод интервалов и метод замены уравнения совокупностью.
Однако, как мы убедимся, эти методы, всегда эффективные, но не всегда удобные и могут приводить к долгим и даже не очень удобным вычислениям, которые естественно потребуют большего времени на их решение. Поэтому важно знать и те методы, которые решение определенных структур уравнений значительно упрощают. Возведение обеих частей уравнения в квадрат, метод введения новой переменной, графический метод, решение уравнений, содержащих модуль под знаком модуля. Эти методы мы рассмотрим в следующей части.
Определение модуля числа. Геометрический смысл модуля.
Первым делом познакомимся с геометрическим смыслом модуля:
Модулем числа а (|а|) называют расстояние на числовой прямой от начала координат (точки 0) до точки А(а) .
Исходя из этого определения рассмотрим некоторые примеры:
|7| - это расстояние от 0 до точки 7, конечно оно равно 7. → | 7 |=7
|-5|- это расстояние от 0 до точки -5 и оно равно: 5. → |-5| = 5
Все мы понимаем расстояние не может быть отрицательным! Поэтому |х| ≥ 0 всегда!
Решим уравнение: |х |=4
Это уравнение можно прочитать так: расстояние от точки 0 до точки x равно 4. Ага, получается, от 0 мы можем двигаться как влево так и вправо, значит двигаясь влево на расстояние равное 4 мы окажемся в точке: -4, а двигаясь вправо окажемся в точке: 4. Действительно, |-4 |=4 и |4 |=4.
Отсюда ответ х=±4.
При внимательном изучении предыдущего уравнения можно заметить, что: расстояние вправо по числовой прямой от 0 до точки равно самой точке, а расстояние влево от 0 до числа равно противоположному числу! Понимая, что вправо от 0 положительные числа, а влево от 0 отрицательные, сформулируем определения модуля числа: модулем (абсолютной величиной) числа х (|х|) называется само число х , если х ≥0, и число –х , если х <0.
Здесь нам надо найти множество точек на числовой прямой расстояние от 0 до которых будет меньше 3, давайте представим числовую прямую, на ней точка 0, идем влево и считаем один (-1), два (-2) и три (-3), стоп. Дальше пойдут точки, которые лежат дальше 3 или расстояние до которых от 0 больше чем 3, теперь идем вправо: один, два, три, опять стоп. Теперь выделяем все наши точки и получаем промежуток х:(-3;3).
Важно, чтобы вы это четко видели, если пока не получается, нарисуйте на бумаге и посмотрите, чтобы эта иллюстрация была вам полностью понятна, не поленитесь и попробуйте в уме увидеть решения следующих заданий:
|х |=11, х=? |х|=-5, х=?
|х | <8, х-? |х| <-6, х-?
|x |>2, х-? |x|> -3, х-?
|π-3|=? |-х²-10|=?
|√5-2|=? |2х-х²-3|=?
|х²+2|=? |х²+4|=0
|х²+3х+4|=? |-х²+9| ≤0
Обратили внимание на странные задания во втором столбце? Действительно, расстояние не может быть отрицательным поэтому: |х|=-5- не имеет решений, конечно же оно не может быть и меньше 0, поэтому: |х| <-6 тоже не имеет решений, ну и естественно, что любое расстояние будет больше отрицательного числа, значит решением |x|> -3 являются все числа.
После того как вы научитесь быстро видеть рисунки с решениями читайте дальше.
Модулем числа называется само это число, если оно неотрицательное, или это же число с противоположным знаком, если оно отрицательное.
Например, модулем числа 5 является 5, модулем числа –5 тоже является 5.
То есть под модулем числа понимается абсолютная величина, абсолютное значение этого числа без учета его знака.
Обозначается так: |5|, |х |, |а | и т.д.
Правило :
Пояснение :
|5| = 5
Читается так: модулем числа 5 является 5.
|–5| = –(–5) = 5
Читается так: модулем числа –5 является 5.
|0| = 0
Читается так: модулем нуля является ноль.
Свойства модуля:
1) Модуль числа есть неотрицательное число: |а | ≥ 0 2) Модули противоположных чисел равны: |а | = |–а | 3) Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: |а | 2 = a 2 4) Модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел: |а · b | = |а | · |b | 6) Модуль частного чисел равен отношению модулей этих чисел: |а : b | = |а | : |b | 7) Модуль суммы чисел меньше или равен сумме их модулей: |а + b | ≤ |а | + |b | 8) Модуль разности чисел меньше или равен сумме их модулей: |а – b | ≤ |а | + |b | 9) Модуль суммы/разности чисел больше или равен модулю разности их модулей: |а ± b | ≥ ||а | – |b || 10) Постоянный положительный множитель можно вынести за знак модуля: |m · a | = m · |а |, m >0 11) Степень числа можно вынести за знак модуля: |а k | = |а | k , если а k существует 12) Если |а | = |b |, то a = ± b |
Геометрический смысл модуля.
Модуль числа – это величина расстояния от нуля до этого числа.
Для примера возьмем снова число 5. Расстояние от 0 до 5 такое же, что и от 0 до –5 (рис.1). И когда нам важно знать только длину отрезка, то знак не имеет не только значения, но и смысла. Впрочем, не совсем верно: расстояние мы измеряем только положительными числами – или неотрицательными числами. Пусть цена деления нашей шкалы составляет 1 см. Тогда длина отрезка от нуля до 5 равна 5 см, от нуля до –5 тоже 5 см.
На практике часто расстояние отмеряется не только от нуля – точкой отсчета может быть любое число (рис.2). Но суть от этого не меняется. Запись вида |a – b| выражает расстояние между точками а и b на числовой прямой.
Пример 1 . Решить уравнение |х – 1| = 3.
Решение .
Смысл уравнения в том, что расстояние между точками х
и 1 равно 3 (рис.2). Поэтому от точки 1 отсчитываем три деления влево и три деления вправо – и наглядно видим оба значения х
:
х
1 = –2, х
2 = 4.
Можем и вычислить.
│х
– 1 = 3
│х
– 1 = –3
│х
= 3 + 1
│х
= –3 + 1
│х
= 4
│ х
= –2.
Ответ : х 1 = –2; х 2 = 4.
Пример 2 . Найти модуль выражения:
Решение .
Сначала выясним, является ли выражение положительным или отрицательным. Для этого преобразуем выражение так, чтобы оно состояло из однородных чисел. Не будем искать корень из 5 – это довольно сложно. Поступим проще: возведем в корень 3 и 10. Затем сравним величину чисел, составляющих разность:
3 = √9. Следовательно, 3√5 = √9 · √5 = √45
10 = √100.
Мы видим, что первое число меньше второго. Значит, выражение отрицательное, то есть его ответ меньше нуля:
3√5 – 10 < 0.
Но согласно правилу, модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. У нас отрицательное выражение. Следовательно, надо поменять его знак на противоположный. Выражением, противоположным 3√5 – 10, является –(3√5 – 10). Раскроем в нем скобки – и получим ответ:
–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.
Ответ .
Модуль числа вводится новое понятие в математике. Разберем подробно, что такое модуль числа и как с ним работать?
Рассмотрим пример:
Мы вышли из дома в магазин. Прошли 300 м, математически это выражение можно записать как +300, смысл числа 300 от знака “+” не поменяется. Расстояние или модуль числа в математике это одно и тоже можно записать так: |300|=300. Знак модуля числа обозначается двумя вертикальными линиями.
А потом в обратном направлении прошли 200м. Математически обратный путь мы можем записать как -200. Но мы не говорим так “мы прошли минус двести метров”, хотя мы вернулись, потому что расстояние как величина остается положительной. Для этого в математике ввели понятие модуля. Записать расстояние или модуль числа -200 можно так: |-200|=200.
Свойства модуля.
Определение:
Модуль числа или абсолютная величина числа
– это расстояние от отправной точки до точки назначения.
Модуль целого числа не равного нулю, всегда положительное число.
Записывается модуль так:
1. Модуль положительного числа равно самому числу.
|
a|=
a
2. Модуль отрицательного числа равно противоположному числу.
|-
a|=
a
3. Модуль нуля, равен нулю.
|0|=0
4. Модули противоположных чисел равны.
|
a|=|-
a|=
a
Вопросы по теме:
Что такое модуль числа?
Ответ: модуль — это расстояние от отправной точки до точки назначения.
Если перед целым числом поставить знак “+” , что произойдет?
Ответ: число не поменяет свой смысл, например, 4=+4.
Если перед целым числом поставить знак “-” , что произойдет?
Ответ: число изменится на , например, 4 и -4.
У каких чисел одинаковый модуль?
Ответ: у положительных чисел и нуля модуль будет тот же. Например, 15=|15|.
У каких чисел модуль – противоположное число?
Ответ: у отрицательных чисел, модуль будет равен противоположному числу. Например, |-6|=6.
Пример №1:
Найдите модуль чисел: а) 0 б) 5 в) -7?
Решение:
а) |0|=0
б) |5|=5
в)|-7|=7
Пример №2:
Существуют ли два различных числа, модули которых равны?
Решение:
|10|=10
|-10|=10
Модули противоположных чисел равны.
Пример №3:
Какие два противоположных числа, имеют модуль 9?
Решение:
|9|=9
|-9|=9
Ответ: 9 и -9.
Пример №4:
Выполните действия: а) |+5|+|-3| б) |-3|+|-8| в)|+4|-|+1|
Решение:
а) |+5|+|-3|=5+3=8
б) |-3|+|-8|=3+8=11
в)|+4|-|+1|=4-1=3
Пример №5:
Найдите: а) модуль числа 2 б) модуль числа 6 в) модуль числа 8 г) модуль числа 1 д) модуль числа 0.
Решение:
а) модуль числа 2 обозначается как |2| или |+2| это одно и тоже.
|2|=2
б) модуль числа 6 обозначается как |6| или |+6| это одно и тоже.
|6|=6
в) модуль числа 8 обозначается как |8| или |+8| это одно и тоже.
|8|=8
г) модуль числа 1 обозначается как |1| или |+1| это одно и тоже.
|1|=1
д) модуль числа 0 обозначается как |0|, |+0| или |-0| это одно и тоже.
|0|=0
Определение модуля может быть дано следующим образом: Абсолютной величиной числа a (модулем) называется расстояние от точки, изображающей данное число a на координатной прямой, до начала координат. Из определения следует, что:
Таким образом, для того чтобы раскрыть модуль необходимо определить знак подмодульного выражения. Если оно положительно, то можно просто убирать знак модуля. Если же подмодульное выражение отрицательно, то его нужно умножить на "минус", и знак модуля, опять-таки, больше не писать.
Основные свойства модуля:
Некоторые методы решения уравнений с модулями
Существует несколько типов уравнений с модулем, для которых имеется предпочтительный способ решения. При этом данный способ не является единственным. Например, для уравнения вида:
Предпочтительным способом решения будет переход к совокупности:
А для уравнений вида:
Также можно переходить к почти аналогичной совокупности, но так как модуль принимает только положительные значения, то и правая часть уравнения должна быть положительной. Это условие нужно дописать в качестве общего ограничения для всего примера. Тогда получим систему:
Оба этих типа уравнений можно решать и другим способом: раскрывая соответствующим образом модуль на промежутках где подмодульное выражение имеет определённый знак. В этом случае будем получать совокупность двух систем. Приведем общий вид решений получающихся для обоих типов уравнений приведённых выше:
Для решения уравнений в которых содержится более чем один модуль применяется метод интервалов , который состоит в следующем:
- Сначала находим точки на числовой оси, в которых обращается в ноль каждое из выражений, стоящих под модулем.
- Далее делим всю числовую ось на интервалы между полученными точками и исследуем знак каждого из подмодульных выражений на каждом интервале. Заметьте, что для определения знака выражения надо подставить в него любое значение x из интервала, кроме граничных точек. Выбирайте те значения x , которые легко подставлять.
- Далее на каждом полученном интервале раскрываем все модули в исходном уравнении в соответствии с их знаками на данном интервале и решаем полученное обычное уравнение. В итоговый ответ выписываем только те корни этого уравнения, которые попадают в исследуемый промежуток. Еще раз: такую процедуру проводим для каждого из полученных интервалов.
- Назад
- Вперёд
Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?
Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:
- Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
- Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике . На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
- Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.
Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны.
Нашли ошибку?
Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на почту. Написать об ошибке можно также в социальной сети (). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.
Модулем рационального числа называют расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, соответствующей этому числу.
Так как расстояние (длина отрезка) может выражаться только положительным числом или нулём, можно сказать, что модуль числа не может быть отрицательным.
Свойства модуля:
Модуль положительного числа равен самому числу.
|a| = a, если a > 0;
Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.
|-a| = a, если a < 0;
Модуль нуля равен нулю.
|0| = 0, если a = 0;
Противоположные числа имеют равные модули.
|-a| = |a|;
Примеры модулей рациональных чисел:
4.Основные методы решения иррациональных уравнений и неравенств.
Мы называем уравнение или неравенство иррациональным, если оно содержит переменную под радикалами, то есть под знаками квадратного, кубического и т. д. корня. Иррациональные урав- нения и неравенства обладают определённой спецификой.
Напомним, что область допустимых значений (сокращённо ОДЗ) уравнения или неравенства есть множество значений переменной, при которых обе части данного уравнения или неравенства имеют смысл. В любой задаче можно обойтись без поиска (и без упоминания) ОДЗ, так что особой необходимости в этом понятии нет. Но и вреда в нём тоже нет2 ; более того, в отдельных ситуациях нахождение ОДЗ оказывается весьма полезным. Так, в некоторых иррациональных уравнениях и неравенствах дело не доходит до каких-либо специфических приёмов - достаточно пристального взгляда и учёта ОДЗ.
Равносильные преобразования
Мы переходим к рассмотрению стандартных видов иррациональных уравнений и неравенств. Здесь предварительный поиск ОДЗ оказывается, как правило, ненужным шагом; наиболее эффективно эти задачи решаются с помощью соответствующих равносильных переходов. Уравнения вида √ A = √ B
Начнём с примера.
Пусть надо решить уравнение √ x = √ 2x + 1. В силу монотонности функции √ x подкоренные выражения должны быть равны: x = 2x+1, откуда x = −1. Однако подстановка этого значения x в уравнение даёт отрицательные числа под радикалами; следовательно, x = −1 не является корнем данного уравнения, и потому оно не имеет решений. Теперь рассмотрим общую ситуацию. Пусть имеется уравнение √ A = √ B, где A и B - некоторые выражения, содержащие переменную. Тогда, во-первых, подкоренные выражения должны быть равны: A = B. Во-вторых, оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными; но в силу их равенства достаточно потребовать неотрицательности одного из них. Таким образом, имеем: √ A = √ B ⇔ (A = B, A > 0 или √ A = √ B ⇔ (A = B, B > 0. При этом естественно требовать не отрицательности того выражения, которое устроено проще.
5.Посторение графиков функции, аналитические выражения которого содержат модуль.:
Модуль числа – это расстояние от точки отсчёта до точки соответсвующей этой точке.
Алгоритм построения графика y=|f(x)|.
1.Строим график y=f(x)
2.Участки графика, лежащие выше оси абсцисс, оставить без изменения.
3.Участки, лежащие ниже оси абсцисс, зеркально отобразить относительно этой оси.
Алгоритм построения графика y=f(|x|).
1.Построим график y=f(x).
2.удалим все точки находящиеся слева оси OY.
3.Все точки, лежащие на оси ОУ и справа от неё ,отразим симметрично относительно оси ОУ.
Алгоритм построения графика |y|=|f(x)|
1.Строим график y=f(x).
2.строим график y=|f(x)|.
3.Осуществить его зеркальное отображение относительно оси Ох.
6.Cвойства и график квадратной функции y=ax+bx+c
Функция, которую можно задать формулой y=ax2+bx+c, где a,b,c∈R и a≠0,
называется квадратичной функцией.
Областью определения функции y=ax2+bx+c (допустимыми значениями аргумента x) являются все действительные числа (R).
Графиком квадратичной функции является парабола.
абсциссу вершины параболы (xo;yo) можно вычислить по формуле:
Чтобы построить график квадратичной функции необходимо:
1) вычислить координаты вершины параболы: x0=−b/2a и y0, которую находят, подставив значение x0 в формулу функции,
2) отметить вершину параболы на координатной плоскости, провести ось симметрии параболы,
3) определить направление ветвей параболы,
4) отметить точку пересечения параболы с осью Oy,
5) составить таблицу значений, выбрав необходимые значения аргумента x.
Решив квадратичное уравнение ax2+bx+c=0, получаем точки пересечения параболы с осью Ox или корни функции (если дискриминант D>0)
если D<0, то точек пересечения параболы с осью Ox не существует,
