Плоскость

Элементы, определяющие плоскость

Плоскость в пространстве определяют:

1) тремя точками (на эпюре каждая точка определяется минимально двумя своими проекциями (рис. 48));

2) прямой и точкой вне ее (рис. 49). В свою очередь прямая в пространстве определяется двумя точками. Отсюда возможность перехода от задания 2) к заданию 1);

Рис. 48 Рис. 49

3) двумя пересекающимися прямыми (рис. 50). Сравните с заданиями 1) и 2);

Рис. 50 Рис. 51

4) двумя параллельными прямыми (рис. 51). Сравните с 1), 2), 3);

5) любой плоской фигурой (рис.52).

Рис. 52

Различные положения плоскости в пространстве

Плоскости уровня

1. Горизонтальная плоскость или плоскость горизонтального уровня – это плоскость w, параллельная горизонтальной плоскости проекций П 1 (рис. 53). На плоскость П 1 любые фигуры плоскости w проецируются в натуральную величину, а на П 2 и П 3 плоскость проецируется в прямые w 2 и w 3 , которые называются вырожденными проекциями плоскости. Для задания плоскости w на эпюре достаточно одной ее вырожденной проекции, например w 2 .

Рис. 53

2. Фронтальная плоскость или плоскость фронтального уровня , это плоскость υ параллельная фронтальной плоскости проекций (рис. 54). На плоскость П 2 она проецируется в натуральную величину, а на П 1 и П 3 вырождается в прямые υ 1 и υ 3 .

Рис. 54

3. Профильная плоскость или плоскость профильного уровня – это плоскость γ, параллельная профильной плоскости проекций П 3 (рис. 55). На плоскость П 3 она проецируется в натуральную величину, а на П 1 и П 2 вырождается в прямые γ 1 , γ 2 .

План

1. Проекции плоскостей общего положения

2. Проекции плоскостей уровня

Горизонтальная плоскость

Фронтальная плоскость

Профильная плоскость

3. Проекции проецирующих плоскостей

Горизонтально-проецирующая плоскость

Фронтально-проецирующая плоскость

Профильно-проецирующая плоскость

4. Взаимное расположение двух плоскостей

Параллельные плоскости

Пересекающиеся плоскости

5. Пересечение плоскостей общего положения

6. Взаиморасположение прямой и плоскости

Прямая - в плоскости

Прямая, параллельная плоскости

Прямая пересекает плоскость

7. Пересечение прямой с плоскостью

8. Условие видимости на чертеже

1. Проекции плоскостей общего положения

На комплексном чертеже плоскость может быть задана изображениями тех геометрических элементов, которые вполне определяют положение плоскости в пространстве. Это:

1) три точки, не лежащие на одной прямой (рис. 30);

3) две параллельные прямые (рис. 27);

4) две пересекающиеся прямые (рис. 28).

При решении некоторых задач целесообразно задавать на комплексном чертеже плоскость ее следами (рис. 31).

Рис. 30	Рис. 31

СЛЕДОМ ПЛОСКОСТИ называется прямая, по которой данная плоскость пересекается с плоскостью проекций.

На рис. 31 изображена плоскость  и ее следы: с - горизонтальный; а - фронтальный; b - профильный. Следы плоскости сливаются с одноименными своими проекциями: след с = с"; след а = а""; след b = b""". Точки

называются точками схода следов.

2. Проекции плоскостей уровня

Плоскостями уровня называются плоскости, параллельные плоскостям проекций.

Характерная особенность этих плоскостей состоит в том, что элементы, расположенные в этих плоскостях, проецируются на соответствующую плоскость проекций в натуральную величину.

Горизонтальная плоскость

Горизонтальная плоскость (рис. 32) параллельна горизонтальной плоскости проекций.

На рис. 32 изображена горизонтальная плоскость  ( V).

Фронтальная плоскость

Фронтальная плоскость (рис. 33) параллельна фронтальной плоскости проекций.

На двухкартинном комплексном чертеже она изображается одним фронтальным следом, параллельным оси x.

Рис. 32

Рис. 33

На рис. 33 изображена фронтальная плоскость  ( ).

Профильная плоскость

Профильная плоскость (рис. 34) параллельна профильной плоскости проекций.

На двухкартинном комплексном чертеже она изображается двумя следами: горизонтальным и фронтальным, перпендикулярными оси x.

На рис. 34 изображена профильная плоскость  ( H,V).

Рис. 34

3. Проекции проецирующих плоскостей

ПРОЕЦИРУЮЩИМИ называются плоскости, перпендикулярные к плоскостям проекций.

Характерной особенностью таких плоскостей является их собирательное свойство. Оно заключается в следующем: соответствующий след - проекция плоскости - собирает одноименные проекции всех элементов, расположенных в данной плоскости.

Горизонтально-проецирующая плоскость

Горизонтально-проецирующая плоскость (рис. 33) перпендикулярна к горизонтальной плоскости проекций H.

Рис. 35	Рис. 36

Горизонтальные проекции всех точек, принадлежащих горизонтально-проецирующей плоскости , располагаются на горизонтальном следе - проекции  H этой плоскости (рис. 35).

Фронтально-проецирующая плоскость

Фронтально-проецирующая плоскость (рис. 36) перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций V.

Фронтальные проекции всех точек, принадлежащих фронтально-проецирующей плоскости , располагаются на фронтальном следе - проекции   этой плоскости (рис. 36).

Профильно-проецирующая плоскость

Профильно-проецирующая плоскость (рис. 37) перпендикулярна к профильной плоскости проекций W.

Рис. 37

Профильные проекции всех точек, принадлежащих профильно-проецирующей плоскости , располагаются на профильном следе -проекции этой  W плоскости (рис. 37).

Плоскости частного положения

Плоскости относительно плоскостей проекций могут быть общего и частного положения. Плоскости частного положения - это плоскости перпендикулярные или параллельные какой-либо плоскости проекций.

Плоскости перпендикулярные одной из плоскостей проекций, называются проецирующими.

1. Горизонтально проецирующая плоскость перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций p 1 (рис. 4.3а).

Рис. 4.3а. Горизонтально проецирующая плоскость.

Фронтальный след S 1 перпендикулярен оси x . Профильный след S 3 перпендикулярен оси y .

Ða - угол наклона плоскости S к плоскости p 2 . Ðb - угол наклона плоскости S к плоскости p 3 . Горизонтальная проекция всех точек плоскости S совпадает с её горизонтальными следами.

2. Фронтально проецирующая плоскость перпендикулярна фронтальной плоскости проекций p 2 (рис. 4.3б) горизонтальный след l 1 - перпендикулярен оси x , профильный след l 3 перпендикулярен оси z , Ðj - угол наклона плоскости l к плоскости p 1 . Ðb - угол наклона плоскости l к плоскости p 3 . Фронтальные проекция всех точек плоскости l совпадают с ее фронтальным следом.

Рис. 4.3б. Фронтально проецирующая плоскость.

3. Профильно проецирующая плоскость перпендикулярна профильной плоскости проекций p 3 (рис. 4.3.в).

Рис. 4.3в. Профильно проецирующая плоскость.

Горизонтальный след D 1 перпендикулярен оси y , фронтальный след D 2 перпендикулярен оси z .

Ðj - угол наклона плоскости D к плоскости p 1 .Ða - угол наклона плоскости D к плоскости p 2 . Профильные проекции всех точек плоскости D совпадают с ее профильным следом.

Плоскости параллельные какой-либо из плоскостей проекций и перпендикулярные двум другим называются плоскостями уровня.

1. Горизонтальные плоскость уровня параллельна плоскости p 1 и перпендикулярна плоскостям p 2 и p 3 (рис. 4.4а).

Рис. 4.4а. Горизонтальные плоскость уровня.

Фронтальная и профильная проекции плоскости совпадают с ее следами G 1 и G 2 , которые перпендикулярны оси z . На горизонтальную плоскость p 1 любая фигура, расположенная в плоскости G, проецируется без искажения на p 1 .

2. Фронтальная плоскость уровня параллельна плоскости p 2 и перпендикулярна плоскостям p 1 и p 3 (рис. 4.4б).

Горизонтальная и профильная проекции плоскости совпадают с её следами q 1 и q 3 , которые перпендикулярны оси y . На фронтальную плоскость p 2 любая фигура, расположенная в плоскости q, проецируется без искажения.

Рис. 4.4б. Фронтальная плоскость уровня.

3. Профильная плоскость уровня параллельна плоскости p 3 и перпендикулярна плоскостям p 2 и p 3 (рис. 4.4в).

Рис. 4.4в. Профильная плоскость уровня.

Фронтальная и горизонтальная проекции плоскости совпадают с её следами Т 1 и Т 2 , которые перпендикулярны оси x . На профильную плоскость p 3 любая фигура, расположенная в плоскости Т, проецируется без искажения.

Свойства плоскостей частного положения:

1. Любая геометрическая фигура расположенная в плоскости, перпендикулярной какой-либо плоскости проекций, проецируется на соответствующий след этой плоскости.

2. Любая геометрическая фигура расположенная в плоскости уровня, проецируется без искажения на ту плоскость проекций, которой данная плоскость параллельна.

ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ

Плоскостью называется поверхность, образуемая движением прямой линии, которая движется параллельно самой себе по неподвижной направляющей прямой.

Проекции плоскости на комплексном чертеже будут различны в зависимости от того, чем она задана. Как известно из геометрии, плоскость может быть задана: а) тремя точками, не лежащими на одной прямой; б) прямой линией и точкой, лежащей вне этой прямой; в) двумя пересекающимися прямыми; г) двумя параллельными прямыми.

На комплексном чертеже (рис. 99) проекции плоскости также задаются проекциями этих элементов, например, на рис 99, а - проекциями трех точек А, и С, не лежащих на одной прямой; на рис. 99, б - проекциями прямой ВС и точки А у не лежащей на этой прямой; на рис. 99, в - проекциями двух пересекающихся прямых; на рис. 99, г проекциями двух параллельных прямых линий АВ и CD.

На рис. 100 плоскость задана прямыми линиями, по которым эта плоскость пересекает плоскости проекций. Такие линии называются следами плоскости.
Линия пересечения данной плоскости Р с горизонтальной плоскостью проекций Н называется горизонтальным следом плоскости Р и обозначается Р н.
Линия пересечения плоскости Р с фронтальной плоскостью проекций V называется фронтальным следом этой плоскости и обозначается Р v .

Линия пересечения плоскости Р с профильной плоскостью проекций W называется профильным следом этой плоскости и обозначается P w .

Следы плоскости пересекаются на осях проекций. Точки пересечения следов плоскости с осями проекций называются точками схода следов. Эти точки обозначаются Р x , Р y и Р z .

Расположение следов плоскости Р на комплексном чертеже по отношению к осям проекций определяет положение самой плоскости по отношению к плоскостям проекций. Например, если плоскость Р имеет фронтальный и профильный следы P v и P w , параллельные осям Ох и Оу то такая плоскость параллельна плоскости Н и называется горизонтальной (рис. 101, и). Плоскость Р со следами Р н и P w , параллельными осям проекций Ох и Oz (рис. 101, называется фронтальной, а плоскость Р со следами P v и P н параллельными осям проекций Оу и Oz, - профильной (рис. 101, в).

Горизонтальная, фронтальная и профильная плоскости, перпендикулярные к двум плоскостям проекций, называются плоскостями уровня . Если на комплексном чертеже плоскость уровня задана не следами, а какой-нибудь плоской фигурой, например, треугольником или параллелограммом (рис. 101, г, д, е), то на одну из плоскостей проекций эта фигура проецируется без искажения, а на две другие плоскости проекций - в виде отрезков прямых.

ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПЛОСКОСТИ И ПЛОСКОСТЬ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ

Плоскость, перпендикулярная к плоскости Н (рис. 102, а),называется горизонтально-проецирующей плоскостью. Фронтальный след P v этой плоскости перпендикулярен оси Ох, а горизонтальный след Р н расположен под углом к оси Ох (комплексный чертеж на рис. 102, а)

Если горизонтально-проецирующая плоскость задана не следами, а какой-либо фигурой, например треугольником АВС (рис. 102, 6), то горизонтальная проекция этой плоскости представляет собой прямую линию, а фронтальная и профильная проекции - искаженный вид треугольника АВС.

Фронтально-проецирующей плоскостью называется плоскость, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций (рис. 102, в).

Горизонтальный след этой плоскости перпендикулярен оси Ох, а фронтальный след расположен под некоторым углом к оси Ох (комплексный чертеж на рис. 102, в).

При задании фронтально-проецирующей плоскости не следами, а, например, параллелограммом ABCD фронтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию (рис. 102, г), а на горизонтальную и профильную плоскости проекций параллелограмм проецируется с искажением.

Профильно-проецирующей плоскостью называется плоскость, перпендикулярная к плоскости W (рис. 102, д). Следы P v и Р н этой плоскости параллельны оси Ох.

При задании профильно-проецирующей плоскости не следами, а, например, треугольником АВС (рис. 102, е) профильная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию. Плоскости, перпендикулярные двум плоскостям проекций, как было сказано, называются плоскостями уровня.

Если плоскость Р не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций (рис. 102, ж), то такая плоскость называется плоскостью общего положения . Все три

следа P v , Р н и P w плоскости Р наклонены к осям проекций.

Если плоскость общего положения задана не следами, а, например, треугольником АВС (рис. 102, з), то этот треугольник проецируется на плоскости H, V и W в искаженном виде.

ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ, РАСПОЛОЖЕННЫХ НА ПЛОСКОСТИ

Если прямая расположена на плоскости, то она должна проходить через две какие-либо точки, принадлежащие этой плоскости. Такие две точки могут быть взяты на следах плоскости - одна на горизонтальном, а другая на фронтальном. Так как следы прямой и плоскости находятся на плоскостях проекций и то следы прямой, принадлежащей плоскости, должны быть расположены на одноименных следах этой плоскости (рис. 103, а);например, горизонтальный след Н прямой - на горизонтальном следе плоскости, фронтальный след V прямой - на фронтальном следе Рv плоскости (рис. 103, б).

Для того чтобы на комплексном чертеже плоскости Р, заданной следами, провести какую-либо прямую общего положения, необходимо наметить на следах плоскости точки v" или считать их следами искомой прямой (точнее, v" - фронтальной проекцией горизонтального следа прямой).

Опустив перпендикуляры из v" и на ось проекций х, находим на ней вторые проекции следов прямой: v - горизонтальную проекцию фронтального следа прямой и h" - фронтальную проекцию горизонтального следа прямой. Соединив одноименные проекции следов, т. е. v"c h и v c h прямыми, получим две проекции прямой линии, расположенной в плоскости общего положения Р.

Очень часто требуется провести на плоскости горизонталь и фронталь, которые называются главными линиями плоскости или линиями уровня. Главные линии помогают решать многие задачи проекционного черчения.

Горизонталь и фронталь имеют в системе двух плоскостей V и Н только по одному следу (например, горизонталь имеет только фронтальный след). Поэтому, зная один след главной линии, проекцию главной линии проводят по заранее известному направлению. Это направление для горизонтали видно из рис. 104, а, где показана плоскость общего положения и горизонталь, лежащая на ней. Из рисунка видно, что горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости.

Таким образом, чтобы на комплексном чертеже плоскости Р провести в этой плоскости какую-либо горизонталь, нужно наметить на следе Р v плоскости точку v" (рис. 104, б) и считать ее фронтальной проекцией фронтального следа горизонтали. Затем через точку v" параллельно оси х проводят прямую, которая будет фронтальной проекцией горизонтали.

Опустив перпендикуляр из точки v" на ось x , получают точку v, которая будет горизонтальной проекцией фронтального следа горизонтали. Прямая, проведенная из точки v параллельно следу P H плоскости, представляет собой горизонтальную проекцию искомой горизонтали. Построение проекции фронтали показано на рис. 104, в и г.

11 с редко требуется провести горизонталь и фронталь на проецирующих плоскостях. Рассмотрим, например, построение горизонтали на фронтально-проецирующей плоскости (рис. 105). На следе плоскости Р v намечаем фронтальную проекцию фронтального следа горизонтали и на оси находим его горизонтальную проекцию v (рис. 105, а). Затем через точку проводим параллельно Р н горизонтальную проекцию горизонтали; фронтальная проекция горизонтали совпадает с точкой v".

Если плоскость задана не следами, а пересекающимися или параллельными прямыми, то построение проекций горизонтали или фронтали, расположенных в этой плоскости, выполняется следующим образом.

Пусть плоскость задана двумя параллельными прямыми AВ и СD (рис. 105, 6). Для построения горизонтали, лежащей в этой плоскости, проводим параллельно оси х фронтальную проекцию горизонтали и отмечаем точки е"и f" пересечения фронтальной проекции горизонтали с фронтальными проекциями параллельных прямых, которыми задана плоскость. Через точки е"и f" проводим вертикальные линии связи до пересечения с ab и cd в точках е и f. Точки е и f соединяем прямой линией, которая и будет горизонтальной проекцией горизонтали.

Если требуется найти следы плоскости, заданной пересекающимися или параллельными прямыми, надо найти следы этих прямых и через полученные точки провести искомые следы плоскости.

Рассмотрим комплексный чертеж параллелограмма ABCD (рис. 106, a),который задает некоторую плоскость X. Отрезок DC расположен в плоскости H, следовательно, его горизонтальная проекция dc является горизонтальным следом плоскости (точнее - горизонтальной проекцией горизонтального следа плоскости).

Чтобы найти фронтальный след этой плоскости, необходимо продолжить горизонтальную проекцию dc прямой DC до пересечения с осью х в точке Р х, через которую должен пройти искомый фронтальный след плоскости.

Второй точкой v", через которую пройдет искомый фронтальный след плоскости, является фронтальный след прямой АВ (фронтальная проекция фронтального следа). Фронтальную проекцию фронтального следа прямой АВ находим, продолжая горизонтальную проекцию ab прямой АВ до пересечения с осью х в точке v, которая будет горизонтальной проекцией искомого фронтального следа прямой АВ. Фронтальная проекция фронтального следа этой прямой находится на перпендикуляре, восставленном из точки v к оси х, в точке v" его пересечения с продолжением фронтальной проекции а"в" прямой АB. Соединив точки P x с v", находим фронтальный след P v плоскости.

Пример решения подобной задачи приведен на рис 106, б.

Часто на комплексных чертежах приходится решать такую задачу: по одной из заданных проекций точки, расположенной на заданной плоскости, определить две другие проекции точки. Ход решения задачи следующий.

Через заданную проекцию точки, например фронтальную проекцию n" точки N, расположенной на плоскости треугольника АВС (рис. 107), проводим одноименную проекцию вспомогательной прямой любого направления, например m’к".

Горизонталью плоскости называется прямая, принадлежащая этой плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций Н.

Строим другую проекцию mк вспомогательной прямой. Для этого проводим вертикальные линии связи через точки m" и к" до пересечения с линиями ас и вс. Из точки n" проводим линию связи до пересечения с проекцией mк в искомой точке n.

Профильную проекцию n" находим по общим правилам проецирования.

В качестве вспомогательной прямой для упрощения построения чаще используются горизонталь или фронталь.

Чтобы найти какую-либо точку на плоскости Р, например точку А (рис. 108, а и б) надо найти ее проекции а"и а, которые располагаются на одноименных проекциях горизонтали, проходящей через эту точку. Через точку А проведена горизонталь Av" .

Проводим проекции горизонтали: фронтальную - через v" параллельно оси х, горизонтальную - через v параллельно следу Р н плоскости Р. На фронтальной проекции горизонтали намечаем фронтальную проекцию а" искомой точки и, проводя вертикальную линию связи, определяем горизонтальную проекцию а точки А.

Если точка лежит на проецирующей плоскости, то построение ее проекций упрощается. В этом случае одна из проекций точки всегда расположена на следу плоскости (точнее, на его проекции). Например, горизонтальная проекция а точки А, расположенной на горизонтально-проецирующей плоскости Р, находится на горизонтальной проекции горизонтального следа плоскости (рис. 108, в и г)

При заданной фронтальной проекции a" точки А, лежащей на горизонтально-проецирующей плоскости, найти вторую проекцию этой точки (горизонтальную) можно без вспомогательной прямой, посредством проведения линии связи через а" до пересечения со следом Р Н.

Если точка расположена на фронтально-проецирующей плоскости Р (рис. 108, д и е), то ее фронтальная проекция а" находится на фронтальном следе Х v плоскости Р.

ПРОЕКЦИИ ПЛОСКИХ ФИГУР

Зная построение проекций прямых и точек, расположенных на плоскости, можно построить проекции любой плоской фигуры, например, прямоугольника, треугольника, круга.

Как известно, каждая плоская фигура ограничена отрезками прямых или кривых линий, которые могут быть построены по точкам.

Проекции фигуры, ограниченной прямыми линиями (треугольника и многоугольника), строят по точкам (вершинам). Затем одноименные проекции вершин соединяют прямыми линиями и получают проекции фигур.

Проекции круга или другой криволинейной фигуры строят при помощи нескольких точек, которые берут равномерно по контуру фигуры. Одноименные проекции точек соединяют плавной кривой по лекалу.

Проекции плоской фигуры строят различными способами в зависимости от положения фигуры относительно плоскостей проекций и Наиболее просто построить проекции фигуры, расположенной параллельно плоскостям Н и V; сложнее - при расположении фигуры на проецирующей плоскости или на плоскости общего положения.

Рассмотрим несколько примеров.

Если треугольник АВС расположен на плоскости, параллельной плоскости H (рис. 109, a), то горизонтальная проекция этого треугольника будет его действительным видом, а фронтальная проекция - отрезком прямой, параллельным оси х. Комплексный чертеж треугольника АВС показан на рис. 109, 6. Такой треугольник можно видеть на изображении резьбового резца (рис. 109, в),передняя грань которого треугольная.

Трапеция ABCD расположена на фронтально-проецирующей плоскости (рис. 110, а). Фронтальная проекция трапеции представляет собой отрезок прямой линии, а горизонтальная - трапецию (рис. 110, б)

Задняя грань отрезного резца (рис. 110, в) имеет форму трапеции.

Рассматривая плоскость, параллельную горизонтальной, фронтальной или профильной плоскости проекций (плоскость уровня), можно заметить, что любая фигура, лежащая в этой плоскости, имеет одну из проекций, представляющую собой действительный вид этой фигуры; вторая и третья проекции фигуры совпадают со следами этой плоскости.

Рассматривая проецирующую плоскость, заметим, что любая точка, отрезок прямой или кривой линии, а также фигуры, расположенные на проецирующей плоскости, имеют одну проекцию, расположенную на следе этой плоскости. Например, если круг лежит на фронтально-проецирующей плоскости Р (рис. 111), то фронтальная проекция круга совпадает с фронтальным следом Pv плоскости Р. Две другие проекции круга искажены и представляют собой эллипсы. Большие оси эллипсов равны проекциям диаметра круга 37. Малые оси эллипсов равны проекциям диаметра круга 15, перпендикулярного диаметру 37.

На рис. 111,6 показано колено трубы с двумя фланцами. Горизонтальная проекция контура нижнего фланца, который расположен в горизонтальной плоскости, будет действительным видом окружности. Горизонтальная проекция контура верхнего фланца изобразится в виде эллипса.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

Две плоскости могут быть взаимно параллельными или пересекающимися.

Из стереометрии известно, что если две параллельные плоскости пересекают какую-либо третью плоскость, то линии пересечения этих плоскостей параллельны между собой. Исходя из этого положения, можно сделать вывод, что одноименные следы двух параллельных плоскостей Р и Q также параллельны между собой.

Если даны две профильно-проецирующие плоскости Р и К (рис. 112, а), то параллельность их фронтальных и горизонтальных следов на комплексном чертеже в системе V и Н недостаточна для того, чтобы определить, параллельны эти плоскости или нет. Для этого необходимо построить их профильные следы в системе V, Н и W (рис. 112, б). Плоскости Р и K будут параллельны только в том случае, если параллельны их профильные следы P w и K w .

Одноименные следы пересекающихся плоскостей Р и Q (рис. 112, в) пересекаются в точках V и H, которые принадлежат обеим плоскостям, т. е. линии их пересечения. Так как эти точки расположены на плоскостях проекций, то, следовательно, они являются также следами линии пересечения плоскостей. Чтобы на комплексном чертеже построить проекции линии пересечения двух плоскостей Р и Q, заданных следами P v , Р н и Q v ,Q h , необходимо отметить точки пересечения одноименных следов плоскостей, т. е. точки v" и h (рис. 112, г); точка v" - фронтальная проекция фронтального следа искомой линии пересечения плоскостей Р и Q, h - горизонтальная проекция горизонтального следа этой же прямой. Опуская перпендикуляры из точек v" и h на ось х, находим точки v и h". Соединив прямыми одноименные проекции следов, т. е. точки v" и h", v и h" получим проекции линии пересечения плоскостей Р и Q.

ПРЯМАЯ, ПРИНАДЛЕЖАЩАЯ ПЛОСКОСТИ

Дана плоскость, заданная треугольником АВС, и прямая, заданная отрезком MN. На рис. 113, а треугольник АВС и отрезок MN заданы горизонтальными и фронтальными проекциями. Требуется определить, лежит ли прямая в плоскости данного треугольника.

Для этого фронтальную проекцию отрезка m"n" продолжаем до пересечения с отрезками a"b" и c"d" (проекциями сторон треугольника АВС), получаем точки (рис. 113, б).

Из точек е"к" проводим линии связи на горизонтальную проекцию до пересечения с отрезками ab и ca , получаем точки еk. Продолжим горизонтальную проекцию mn отрезка прямой MN до пересечения с проекциями сторон bа и са, если точки пересечения совпадут с ранее полученными точками e и k то прямая MN принадлежит плоскости треугольника.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ

Если прямая АВ пересекается с плоскостью Р, то на комплексном чертеже точка их пересечения определяется следующим образом.

Через прямую А В проводят любую вспомогательную плоскость Q. Для упрощения построений плоскость Q обычно берется проецирующей (рис. 114, a). В данном случае проведена вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость Q. Через горизонтальную проекцию аb прямой АВ проводят горизонтальный след Q H плоскости Q и продолжают его до пересечения с осью x в точке Q x . Из точки Q x к оси х восставляют перпендикуляр Q x Q y , который будет фронтальным следом Q v вспомогательной плоскости Q.

Вспомогательная плоскость Q пересекает данную плоскость Р по прямой VH, следы которой лежат на пересечении следов плоскостей Р и Q. Заметив точки пересечения следов P v и Q v - точку v" и следов Q н и P H - точку h,опускают из этих точек на ось х перпендикуляры, основания которых - точки v" и h" - будут вторыми проекциями следов прямой VH. Соединяя точки v"и h", v и h, получают фронтальную и горизонтальную проекции линии пересечения плоскостей.

Точка пересечения М заданной прямой AB и найденной прямой VH и будет искомой точкой пересечения прямой АВ с плоскостью Р. Фронтальная проекция m" этой точки расположена на пересечении проекций a"b" и v"h". Горизонтальную проекцию m точки М находят, проводя вертикальную линию связи из точки m" до пересечения с ab.

Если плоскость задана не следами, а плоской фигурой, например, треугольником (рис. 114, 6), то точку пересечения прямой MN с плоскостью треугольника АВС находят следующим образом.

Через прямую МN проводят вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость. Для этого через точки m" и n" проводят фронтальный след плоскости Р у продолжают его до оси x и из точки пересечения следа плоскости Р у с осью х опускают перпендикуляр Р н, который будет горизонтальным следом плоскости Р.

Затем находят линию ED пересечения плоскости Р с плоскостью данного треугольника ABC. Фронтальная проекция e"d" линии ED совпадает с m"n". Горизонтальную проекцию ed находят, проводя вертикальные линии связи из точек е"и d" до встречи с проекциями ab и ас сторон треугольника АВС. Точки e и d соединяют прямой. На пересечении горизонтальной проекции ed линии ED с горизонтальной проекцией прямой MN находят горизонтальную проекцию k искомой точки К. Проведя из точки k вертикальную линяю связи, на ходят фронтальную проекцию k" Точка К - искомая точка пересечения прямой МК с плоскостью треугольника АВС.

В частном случае прямая может быть перпендикулярна плоскости Р.Из условия перпендикулярности прямой к плоскости следует, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим на этой плоскости (в частности, этими прямыми могут быть следы плоскости). Тогда проекции прямой АВ будут перпендикулярны одноименным следам этой плоскости (рис 115, а) Фронтальная проекция а"b" перпендикулярна фронтальному следу Р у, а горизонтальная проекция ab перпендикулярна горизонтальному следу Р н плоскости Р.

Если плоскость задана параллельными или пересекающимися прямыми, то проекции прямой, перпендикулярной этой плоскости, будут перпендикулярны горизонтальной проекции горизонтали и фронтальной проекции фронтали, лежащих на плоскости.

Таким образом, если, например, на плоскость, заданную треугольником АВС необходимо опустить перпендикуляр, то построение выполняется следующим образом (рис. 115, б).

На плоскости проводят горизонталь СЕ и фронталь FA. Затем из заданных проекций d и d" точки D опускают перпендикуляры соответственно на ce и f"a". Прямая, проведенная из точки D будет перпендикулярна плоскости треугольника АВС.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

Задачи на построение линии пересечения плоскостей, заданных пересекающимися прямыми, можно решать подобно задаче на пересечение плоскости с прямыми линиями. На рис. 116 показано построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками АВС и DEF. Прямая MN построена по найденным точкам пересечения сторон DE и EF треугольника DEF с плоскостью треугольника АВС.

Например, чтобы найти точку M, через прямую DF проводят фронтально-проецирующую плоскость Р, которая пересекается с плоскостью треугольника АВС по прямой 12. Через полученные точки 1" и 2" проводят вертикальные линии связи до пересечения их с горизонтальными проекциями ав и ас сторон треугольника АВС в точках 1 и 2. На пересечении горизонтальных проекций df и 12 получают горизонтальную проекцию m искомой точки М, которая будет точкой пересечения прямой DF с плоскостью АВС. Затем находят фронтальную проекцию m" точки M. Точку N пересечения прямой EF с плоскостью АВС находят так же, как и точку М.

Соединив попарно точки m" и n", m и n, получают проекции линий пересечения MN плоскостей АВС и DEF.

Это плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций: Ф || П 2 (рис. 2-10а, 2-10б).

Пространственный чертеж

Плоский четеж

Плоскость F задана DАВС , F - фронтальная плоскость уровня.

Þ Ф || П2 ; Ф1 ^ А 2 А 1 ; DАВС Ì Ф Þ А 1 В 1 С 1 = Ф 1 ; | A 2 B 2 C 2 | -натуральная величина DАВС

Графический признак:

Горизонтальная проекция Ф 1 фронтальной плоскости уровня - прямая линия, перпендикулярная линиям связи в системе П 1 –П 2 . Это -главная проекция.

Особые линии плоскости.

Если прямая принадлежит плоскости и занимает в ней какое-то особое положение, то она называется особой линией плоскости . К ним относятся линии уровня плоскости: горизонталь, фронталь и профильная прямая, а также линии наибольшего наклона плоскости.

Горизонталь плоскости

Это прямая, принадлежащая плоскости, и параллельная горизонтальной плоскости проекций

Г (a || b) Построить: h Ì Г; h || П 1

1. Проводим h 2

1. Так как h принадлежит плоскости, то h 1 1Î а, 2Î b ). h 1 -натуральная величина h.

Построение горизонтали в плоскости начинают с фронтальной проекции h 2 П 2 –П 1 . h 1

Если плоскость - фронтально проецирующая, то горизонталь такой плоскости – фронтально проецирующая прямая (рис. 2-12).

Г(a || b) ^^ П 2 ; hÌ Г; h || П 1

Так как плоскость Г - фронтально проецирующая, то единственная прямая в такой плоскости, параллельная плоскости проекций П 1 - фронтально проецирующая прямая Þ h ^^ П 2

Фронталь плоскости

Это прямая, принадлежащая плоскости, и параллельная фронтальной плоскости проекций

S (m Ç n) Построить: f Ì S; f || П 2

1. Проводим f 1 перпендикулярно линиям связи.

2. Так как f принадлежит плоскости, то f 2 находим по двум точкам в плоскости (1Î m, 2Î n ).

Построение фронтали в плоскости начинают с горизонтальной проекции f 1 : она всегда перпендикулярна линиям связи в системе П 2 –П 1 . f 2 находят по принадлежности плоскости.

Это - натуральная величина f.

Если плоскость - горизонтально проецирующая, то фронталь такой плоскости - горизонтально проецирующая прямая (рис. 2-14).

S(m Ç n) ^^ П 1 ; f Ì S; f || П 2

Так как плоскость S - горизонтально проецирующая, то единственная прямая в такой плоскости, параллельная плоскости проекций П 2 - горизонтально проецирующая прямая Þ f ^^ П 1 .

Линия наибольшего наклона плоскости

Это прямая, принадлежащая плоскости и перпендикулярная одной из линий уровня плоскости. С её помощью определяют угол наклона заданной плоскости к одной из плоскостей проекций. Условимся линию наибольшего наклона плоскости к П 1 обозначать буквой g , к П 2 - буквой е.

Линия наибольшего наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций называется линией ската (рис. 2-15). Из физики известно, что шар, выпущенный из руки в точке А , покатится в плоскости Ф по линии ската g , перпендикулярной m - линии пересечения плоскостей Ф и П 1 .

Рассмотрим подробно построение этой линии на конкретном примере.

Задача: Определить угол наклона плоскости Ф к горизонтальной плоскости проекций

Пространственная модель.

Мерой двугранного угла является линейный угол. Следовательно, нам нужно определить угол между прямой g , перпендикулярной m (линии пересечения плоскостей Ф и П 1 ), и её горизонтальной проекцией g 1 (рис. 2-17).

Однако, в плоских чертежах линии пересечения заданных плоскостей с плоскостями проекций чаще всего отсутствуют. Поэтому, для построения линии g в плоскости Ф возьмём в этой плоскости горизонталь h (рис. 2-18).

Она будет располагаться параллельно m , так как m = Ф Ç П 1 , а h || П 1 .

Поскольку g ^ m , а h || m , то g ^ h .

Спроецируем h на П 1 , получим h 1 (рис. 2-19). Так как h || m , mo h 1 || m 1 .

Согласно теореме о проецировании прямого угла (2 свойство ортогонального проецирования), если g ^ h , mo g 1 ^ h 1 . Проводим g 1 (рис. 2-20).

Угол a между g u g 1 Ф к П 1 .

Таким образом, угол наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций - это угол между горизонтальной проекцией линии ската этой плоскости и её натуральной величиной.

Выполним алгоритмическую запись вышеизложенного:

Ф Ù П 1 = g Ù g 1 ; g ^ h Þ g 1 ^ h 1 .

Плоский чертёж.

Зададим плоскость Ф треугольником АВС (рис. 2-21).

Алгоритм решения задачи:

1. Проводим в плоскости Ф(АВС) горизонталь h(h 1 ,h 2) .

2. Проводим g 1 (B 1 K 1) ^ h 1 . Находим g 2 (B 2 K 2) по принадлежности плоскости.

3. Находим натуральную величину g методом прямоугольного треугольника (рис. 2-21).

4. Угол a между g 1 u g - есть угол наклона плоскости Ф(АВС ) к П 1 .

Полное решение задачи представлено на рис. 2-23.

Аналогично можно решить задачу на определение угла наклона плоскости Ф к П 2 . Для этого в плоскости Ф нужно взять фронталь, линию наибольшего наклона плоскости к П 2 - е строить перпендикулярно фронтали (е 2 ^ f 2 ® е ) и находить натуральную величину е на П 2 .

После вышесказанного, рассмотрим задание плоскости с помощью линии ската g (рис.2-24а) и линии наибольшего наклона плоскости к П 2 - е (рис.2-25а). В первом случае при решении конкретных задач к линии ската необходимо добавить горизонталь (h 2 ^ линиям связи, h 1 ^ g 1 ) (рис.2-24б); во втором к линии наибольшего наклона е добавляют фронталь (f 1 ^ линиям связи, f 2 ^ е 2 )(рис. 2-25б). В обоих случаях плоскость получается заданной пересекающимися прямыми.