Подсчитаем в MS EXCEL количество перестановок из n элементов. С помощью формул выведем на лист все варианты перестановок (английский перевод термина: permutation).
Перестановкой множества из n элементов называется расположение элементов в определенном порядке.
Элементами множества могут быть числа, буквы и вообще любые объекты. Главное, чтобы эти элементы были различными. Т.к. любому объекту можно сопоставить число, то для Перестановок обычно используют конечное множество целых чисел, например, {1; 2; 3; 4; 5}. Хотя множества из букв также можно часто встретить в литературе. Например, все различные Перестановки множества из трех элементов {a, b, c} – это abc , acb , bac , bca , cab , cba .
Число Перестановок n элементов равно n! (факториал).
Для вычисления факториала в MS EXCEL есть функция =ФАКТР() , английский вариант FACT(). Понятно, что число перестановок растет очень быстро с ростом n: для n=7 число перестановок равно 5040. Справедливости ради, нужно отметить, что зачастую сами варианты перестановок находить не требуется, главное – найти их количество.
Примечание : Перестановки можно считать частным случаем размещений при n=k (см. статью ). Поэтому для вычисления количества перестановок можно использовать функцию ПЕРЕСТ() . Для n=7 число Перестановок вычисляется по формуле =ПЕРЕСТ(7;7)
Примечание : О Перестановках с повторениями (с возвращением элементов обратно во множество, из которого они берутся, после выборки каждого элемента) можно прочитать в статье .
В файле примера создана универсальная формула для вывода всех Перестановок для заданного n. Например, для n=3.
Задача
6 машин разных марок участвуют в гонках на выживание: LADA Granta, Hyundai Solaris, KIA Rio, Renault Duster, Lada Kalina, Volkswagen Polo. Определить число возможных вариантов распределения мест между всеми участниками.
Нам нужно определить число перестановок 6 машин на 6-и местах. Т.е. n=6. Оказывается, что таких перестановок 720: =ПЕРЕСТ(6;6) или 6! =ФАКТР(6)
Воспользуемся файлом примера , чтобы найти все варианты перестановок.
Произвольным образом сопоставим маркам машин числовые значения и сделаем сокращения названий марок: LADA Granta (LG=1), Hyundai Solaris (HS=2), …
Введя в ячейке В5 значение 6, определим все варианты расстановок машин на занятых ими в гонке местах.
Примечание : О Размещениях можно прочитать в статье , а о Сочетаниях в статье .
Перебор всех возможных перестановок может потребоваться для решения различных задач (см. статью и ).
Инверсии перестановок
Для каждой перестановки a 1, a 2, a 3,..., a n из n целых чисел 1, 2, 3, ..., n , инверсией называется пара (a i, a j) если для i < j выполняется a i > a j. Число инверсией в перестановке показывает насколько перестановка является "несортированной" по возрастанию.
Например, число инверсий в перестановке 1, 2, 3, 4 равно 0 (перестановка из 4-х целых чисел отсортирована по возрастанию от 1 до 4), а число инверсий в перестановке 4, 3, 1, 2 равно 5, т.к.:
- первый элемент (i=1) равен 4 и он больше 3-х чисел (с j=2, 3, 4), которые расположены правее (4>3, 4>1, 4>2), т.е. мы имеем 3 инверсии;
- второй элемент (i=2) равен 3 и он больше2-х чисел (с j=3, 4), которые расположены правее (3>1, 3>2), т.е. мы имеем еще 2 инверсии;
- так третий элемент (i=3) равен 1 и он меньше числа с j=4, которое расположено правее (1<2), то эта пара не является инверсией. Т.е. у перестановки 4, 3, 1, 2 число инверсий равно 3+2+0=5.
В файле примера для каждой Перестановки подсчитывается число инверсией.
В данной статье речь пойдет об особом разделе математики под названием комбинаторика. Формулы, правила, примеры решения задач - все это вы сможете найти здесь, прочитав статью до самого конца.
Итак, что же это за раздел? Комбинаторика занимается вопросом подсчета каких-либо объектов. Но в данном случае объектами выступают не сливы, груши или яблоки, а нечто иное. Комбинаторика помогает нам находить вероятность какого-либо события. Например, при игре в карты - какова вероятность того, что у противника есть козырная карта? Или такой пример - какова вероятность того, что из мешка с двадцатью шариками вы достанете именно белый? Именно для подобного рода задач нам и нужно знать хотя бы основы данного раздела математики.
Комбинаторные конфигурации
Рассматривая вопрос основных понятий и формул комбинаторики, мы не можем не уделить внимание комбинаторным конфигурациям. Они используются не только для формулировки, но и для решения различных Примерами таких моделей служат:
- размещение;
- перестановка;
- сочетание;
- композиция числа;
- разбиение числа.
О первых трех мы поговорим более подробно далее, а вот композиции и разбиению мы уделим внимание в данном разделе. Когда говорят о композиции некого числа (допустим, а), то подразумевают представление числа а в виде упорядоченной суммы неких положительных чисел. А разбиение - это неупорядоченная сумма.
Разделы
Прежде чем мы перейдем непосредственно к формулам комбинаторики и рассмотрению задач, стоит обратить внимание на то, что комбинаторика, как и другие разделы математики, имеет свои подразделы. К ним относятся:
- перечислительная;
- структурная;
- экстремальная;
- теория Рамсея;
- вероятностная;
- топологическая;
- инфинитарная.
В первом случае речь идет об исчисляющей комбинаторике, задачи рассматривают перечисление или подсчет разных конфигураций, которые образованы элементами множеств. На данные множества, как правило, накладываются какие-либо ограничения (различимость, неразличимость, возможность повтора и так далее). А количество этих конфигураций подсчитывается при помощи правила сложения или умножения, о которых мы поговорим немного позже. К структурной комбинаторике относятся теории графов и матроидов. Пример задачи экстремальной комбинаторики - какова наибольшая размерность графа, который удовлетворяет следующим свойствам… В четвертом пункте мы упомянули теорию Рамсея, которая изучает в случайных конфигурациях наличие регулярных структур. Вероятностная комбинаторика способна нам ответить на вопрос - какова вероятность того, что у заданного множества присутствует определенное свойство. Как нетрудно догадаться, топологическая комбинаторика применяет методы в топологии. И, наконец, седьмой пункт - инфинитарная комбинаторика изучает применение методов комбинаторики к бесконечным множествам.
Правило сложения
Среди формул комбинаторики можно найти и довольно простые, с которыми мы достаточно давно знакомы. Примером является правило суммы. Предположим, что нам даны два действия (С и Е), если они взаимоисключаемы, действие С выполнимо несколькими способами (например а), а действие Е выполнимо b-способами, то выполнить любое из них (С или Е) можно а+b способами.
В теории это понять достаточно трудно, постараемся донести всю суть на простом примере. Возьмем среднюю численность учеников одного класса - допустим, это двадцать пять. Среди них пятнадцать девочек и десять мальчиков. Ежедневно в классе назначается один дежурный. Сколько есть способов назначить дежурного по классу сегодня? Решение задачи достаточно простое, мы прибегнем к правилу сложения. В тексте задачи не сказано, что дежурными могут быть только мальчики или только девочки. Следовательно, им может оказаться любая из пятнадцати девочек или любой из десяти мальчиков. Применяя правило суммы, мы получаем достаточно простой пример, с которым без труда справится школьник начальных классов: 15 + 10. Подсчитав, получаем ответ: двадцать пять. То есть существует всего двадцать пять способов назначить на сегодня дежурного класса.
Правило умножения
К основным формулам комбинаторики относится и правило умножения. Начнем с теории. Допустим, нам необходимо выполнить несколько действий (а): первое действие выполняется с1 способами, второе - с2 способами, третье - с3 способами и так далее до последнего а-действия, выполняемого са способами. Тогда все эти действия (которых всего у нас а) могут быть выполнены N способами. Как высчитать неизвестную N? В этом нам поможет формула: N = с1 * с2 * с3 *…* са.
Опять же, в теории ничего не понятно, переходим к рассмотрению простого примера на применение правила умножения. Возьмем все тот же класс из двадцати пяти человек, в котором учится пятнадцать девочек и десять мальчиков. Только на этот раз нам необходимо выбрать двух дежурных. Ими могут быть как только мальчики или девочки, так и мальчик с девочкой. Переходим к элементарному решению задачи. Выбираем первого дежурного, как мы решили в прошлом пункте, у нас получается двадцать пять возможных вариантов. Вторым дежурным может быть любой из оставшихся человек. У нас было двадцать пять учеников, одного мы выбрали, значит вторым дежурным может быть любой из оставшихся двадцати четырех человек. Наконец, применяем правило умножения и получаем, что двоих дежурных можно избрать шестью сотнями способов. Мы данное число получили умножением двадцати пяти и двадцати четырех.
Перестановка
Сейчас мы рассмотрим еще одну формулу комбинаторики. В данном разделе статьи мы поговорим о перестановках. Рассмотреть проблему предлагаем сразу же на примере. Возьмем бильярдные шары у нас их n-ое количество. Нам нужно подсчитать: сколько есть вариантов расставить их в ряд, то есть составить упорядоченный набор.
Начнем, если у нас нет шаров, то и вариантов расстановки у нас так же ноль. А если у нас шар один, то и расстановка тоже одна (математически это можно записать следующим образом: Р1 = 1). Два шара можно расставить двумя разными способами: 1,2 и 2,1. Следовательно, Р2 = 2. Три шара можно расставить уже шестью способами (Р3=6): 1,2,3; 1,3,2; 2,1,3; 2,3,1; 3,2,1; 3,1,2. А если таких шаров не три, а десять или пятнадцать? Перечислять все возможные варианты очень долго, тогда нам на помощь приходит комбинаторика. Формула перестановки поможет нам найти ответ на интересующий нас вопрос. Pn = n *P (n-1). Если попытаться упростить формулу, то получаем: Pn = n* (n - 1) *…* 2 * 1. А это и есть произведение первых натуральных чисел. Такое число называется факториалом, а обозначается как n!
Рассмотрим задачу. Вожатый каждое утро выстраивает свой отряд в шеренгу (двадцать человек). В отряде есть три лучших друга - Костя, Саша и Леша. Какова вероятность того, что они будут стоять рядом? Чтобы найти ответ на вопрос, нужно вероятность «хорошего» исхода поделить на общее количество исходов. Общее число перестановок составляет 20! = 2,5 квинтиллиона. Как посчитать количество «хороших» исходов? Предположим, что Костя, Саши и Леша - это один сверхчеловек. Тогда мы имеем всего восемнадцать субъектов. Число перестановок в данном случае равняется 18 = 6,5 квадриллионов. При всем этом, Костя, Саша и Леша могут произвольно перемещаться между собой в своей неделимой тройке, а это еще 3! = 6 вариантов. Значит всего «хороших» расстановок у нас 18! * 3! Нам остается только найти искомую вероятность: (18! * 3!) / 20! Что равняется примерно 0,016. Если перевести в проценты, то это получается всего 1,6%.
Размещение
Сейчас мы рассмотрим еще одну очень важную и необходимую формулу комбинаторики. Размещение - это наш следующий вопрос, который предлагаем вам рассмотреть в данном разделе статьи. Мы идем на усложнение. Предположим, что мы хотим рассмотреть возможные перестановки, только не из всего множества (n), а из меньшего (m). То есть мы рассматриваем перестановки из n предметов по m.
Основные формулы комбинаторики стоит не просто заучивать, а понимать их. Даже несмотря на то, что они усложняются, так как у нас не один параметр, а два. Предположим, что m = 1, то и А = 1, m = 2, то А = n * (n - 1). Если далее упрощать формулу и перейти на запись при помощи факториалов, то получится вполне лаконичная формула: А = n! / (n - m)!
Сочетание
Мы рассмотрели практически все основные формулы комбинаторики с примерами. Теперь перейдем к заключительному этапу рассмотрения базового курса комбинаторики - знакомство с сочетанием. Сейчас мы будем выбирать m предметов из имеющихся у нас n, при этом всем мы будем выбирать всеми возможными способами. Чем же тогда это отличается от размещения? Мы не будем учитывать порядок. Этот неупорядоченный набор и будет являться сочетанием.
Сразу введем обозначение: С. Берем размещения m шариков из n. Мы перестаем обращать внимание на порядок и получаем повторяющиеся сочетания. Чтобы получить число сочетаний нам надо поделить число размещений на m! (m факториал). То есть С = А / m! Таким образом, способов выбрать из n шаров немножко, равняется примерно столько, сколько выбрать почти все. Этому есть логическое выражение: выбрать немножко все равно, что выкинуть почти все. Еще в данном пункте важно упомянуть и то, что максимальное число сочетаний можно достигнуть при попытке выбрать половину предметов.
Как выбрать формулу для решения задачи?
Мы подробно рассмотрели основные формулы комбинаторики: размещение, перестановка и сочетание. Теперь наша задача - облегчить выбор необходимой формулы для решения задачи по комбинаторике. Можно воспользоваться следующей довольно простой схемой:
- Задайте себе вопрос: порядок размещения элементов учитывается в тексте задачи?
- Если ответ нет, то воспользуйтесь формулой сочетания (С = n! / (m! * (n - m)!)).
- Если ответ нет, то необходимо ответить на еще один вопрос: все ли элементы входят в комбинацию?
- Если ответ да, то воспользуйтесь формулой перестановки (Р = n!).
- Если ответ нет, то воспользуйтесь формулой размещения (А = n! / (n - m)!).
Пример
Мы рассмотрели элементы комбинаторики, формулы и некоторые другие вопросы. Теперь перейдем к рассмотрению реальной задачи. Представьте, что перед вами лежат киви, апельсин и банан.
Вопрос первый: сколькими способами их можно переставить? Для этого воспользуемся формулой перестановок: Р = 3! = 6 способов.
Вопрос второй: сколькими способами можно выбрать один фрукт? Это очевидно, у нас всего три варианта - выбрать киви, апельсин или банан, но применим формулу сочетаний: С = 3! / (2! * 1!) = 3.
Вопрос третий: сколькими способами можно выбрать два фрукта? Какие есть у нас вообще варианты? Киви и апельсин; киви и банан; апельсин и банан. То есть три варианта, но это легко проверить при помощи формулы сочетания: С = 3! / (1! * 2!) = 3
Вопрос четвертый: сколькими способами можно выбрать три фрукта? Как видно, выбрать три фрукта можно одним-единственным способом: взять киви, апельсин и банан. С = 3! / (0! * 3!) = 1.
Вопрос пятый: сколькими способами можно выбрать хотя бы один фрукт? Это условие подразумевает, что мы можем взять один, два или все три фрукта. Следовательно, мы складываем С1 + С2 + С3 =3 + 3 + 1 = 7. То есть у нас есть семь способов взять со стола хотя бы один фрукт.
Аналоги комбинаторных концепций и методов используются и в топологии, при изучении дерева принятия решений, частично упорядоченных множеств, раскрасок графа и др.
25) Что называют перестановками?
Перестановки - различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядком элементов (т.е. могут быть получены из того же самого множества).
26) По какой формуле вычисляют число перестановок из n различных элементов?
Перестановки. Возьмём n различных элементов: a 1 , a 2 , a 3 , …, a n . Будем переставлять их всеми возможными способами, сохраняя их количество и меняя лишь порядок их расположения. Каждая из полученных таким образом комбинаций называетсяперестановкой. Общее количество перестановок из n элементов обозначается P n . Это число равно произведению всех целых чисел от 1 до n :
Символ n ! (называется факториал ) - сокращённая запись произведения: 1 · 2 · 3 · … · (n – 1) · n .
П р и м е р. Найти число перестановок из трёх элементов: a , b , c .
Р е ш е н и е. В соответствии с приведенной формулой: P
3 = 1 · 2 · 3 = 6.
Действительно, мы имеем 6 перестановок: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
27) Что называют размещениями? Запишите формулу, по которой вычисляют число размещений из n элементов по m.
Размещения - это упрядоченные подмножества данного конечного множества.
Размещения. Будем составлять группы из m n элементов, располагая эти m взятых элементов в различном порядке. Полученные комбинации называются размещениями из n элементов по m .
Их общее количество обозначается: и равно произведению:
П р и м е р. Найти число размещений из четырёх элементов a, b, c, d по два.
Р е ш е н и е. В соответствии с формулой получим:
Вот эти размещения: ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc.
28) Что называют сочетаниями? Запишите формулу, по которой вычисляют число сочетаний из n элементов по m.
Сочетание без повторений из n элементов по m есть m -элементное подмножество некоторого n -элементного множества.
Коротко такие сочетания называют "сочетания из m по n " и их число обозначают или . Далее n -элементное множество будем обозначать как n -множество.
Сочетания. Будем составлять группы из m различных элементов, взятых из множества, состоящего из n элементов, не принимая во внимание порядок расположения этих m элементов. Тогда мы получим сочетания из n элементов по m .
Их общее количество обозначается и может быть вычислено по формуле:
Из этой формулы ясно, что
Заметим, что можно составить только одно сочетание из n элементов по n , которое содержит все n элементов. Формула числа сочетаний даёт это значение, если только принять, что 0! = 1 , что является определением 0! .
В соответствии с этим определением получим:
Общее число сочетаний можно вычислить, пользуясь и другим выражением:
П р и м е р. Найти число сочетаний из пяти элементов: a, b, c, d, e по три.
Р е ш е н и е:
Эти сочетания: abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde.
29) По какой формуле вычисляется число перестановок из n элементов, если элементы повторяются?
Перестановками из n элементов называются размещения из этих n элементов по n (Перестановки - частный случай размещений).
Число перестановок без повторений (n
Пример . Возьмем буквы Б, А, Р . Какие перестановки из этих букв можно получить? Сколько таких наборов получится, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) буква А повторяется два раза?
Решение.
1. Получатся наборы: БАР, БРА, АРБ, АБР, РАБ, РБА.
По формуле (3.3) получаем: 
наборов.
2. Получатся наборы: БАРА, БРАА, БААР, ААРБ, ААБР, АБАР, АРАБ, АРБА, АБРА, РАБА, РААБ, РБАА.
По формуле (3.4) получаем: 
наборов.
Пример . Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы цифры в числе не повторялись?
Решение. Из данных шести цифр можно составить Р 6 = 6! = 720 перестановок. Но числа, начинающиеся на нуль, не являются шестизначными. Такие числа отличаются друг от друга перестановкой пяти остальных цифр, значит, их будет Р 5 = 120. Поэтому шестизначных чисел будет 720 - 120 = 600 чисел.
Пример . Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 ладьи, 2 коня, 2 слона, ферзь и король) на первой линии шахматной доски?
Решение. Первая линия шахматной доски представляет собой 8 клеток, на которых и надо расположить эти 8 фигур. Различные варианты расположения будут отличаться только порядком фигур, значит, это будут перестановки с повторениями Р 8 (2,2,2).
По формуле (3.4) получаем: способов.
30) Какой формулой определяется число размещений с повторениями из n элементов по m элементов?
Размещения
Размещениями из n элементов по m элементов (m < n ) называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов.
Число размещений без повторений из n по m (n различных элементов) вычисляется по формуле:
Пример . Возьмем буквы Б, А, Р . Какие размещения из этих букв, взятых по две, можно получить? Сколько таких наборов получиться, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) буквы могут повторяться?
Решение.
1. Получатся следующие наборы: БА, БР, АР, АБ, РБ, РА .
По формуле (3.1) получаем: 
наборов.
2. Получатся наборы: ББ, БА, БР, АА, АБ, АР, РР, РБ, РА.
По формуле (3.2) получаем: наборов.
Пример. Вдоль дороги стоят 6 светофоров. Сколько может быть различных комбинаций их сигналов, если каждый светофор имеет 3 состояния: "красный", "желтый", "зеленый"?
Решение. Выпишем несколько комбинаций: КККЖЗЗ, ЗЗЗЗЗЗ, КЖЗКЖЗ... Мы видим, что состав выборки меняется и порядок элементов существенен (ведь если, например, в выборке КЖЗКЖЗ поменять местами К и Ж, ситуация на дороге будет другой). Поэтому применяем формулу (3.2) и вычисляем число размещений с повторениями из 3 по 6, получаем комбинаций.
31) Какой формулой определяется число сочетаний с повторениями из n элементов по m элементов?
Сочетания
Сочетаниями из n элементов по m элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые различаются хотя бы одним элементом (отличие сочетаний от размещений в том, что в сочетаниях не учитывается порядок элементов).
Число сочетаний без повторений (n различных элементов, взятых по m ) вычисляется по формуле:
Пример . Возьмем буквы Б, А, Р . Какие сочетания из этих букв, взятых по две, можно получить? Сколько таких наборов получится, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) можно брать по два одинаковые буквы.
Решение .
1. Получатся наборы: БА (БА и АБ - один и тот же набор), АР и РБ
По формуле (3.5) получаем: 
наборов.
2. Получатся наборы: ББ, БА, БР, АА, АР, РР.
По формуле (3.6) получаем: наборов.
Пример . Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Надо выбрать двух человек из 20. Ясно, что от порядка выбора ничего не зависит, то есть Иванов-Петров или Петров-Иванов - это одна и та же пара дежурных. Следовательно, это будут сочетания из 20 по 2.
По формуле (3.5) получаем: 
способов.
Пример . В хлебном отделе имеются булки белого и черного хлеба. Сколькими способами можно купить 6 булок хлеба?
Решение. Обозначая булки белого и черного хлеба буквами Б и Ч, составим несколько выборок: ББББББ, ББЧЧББ, ЧЧЧЧЧБ, ... Состав меняется от выборки к выборке, порядок элементов несущественен, значит это - сочетания с повторениями из 2 по 6. По формуле (3.6) получаем способов.
Cделаем проверку и выпишем все варианты покупки: ББББББ, БББББЧ, ББББЧЧ, БББЧЧЧ, ББЧЧЧЧ, БЧЧЧЧЧ, ЧЧЧЧЧЧ. Их действительно 7.
32) Что называют суммой двух событий?
Суммойдвух событийи
называют событие, состоящее в появлении события , или события , или обоих этих событий.
Суммой нескольких событий
называют событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.
33) Что называют произведением двух событий?
Произведением двух событийи называют событие , состоящее в совместном появлении этих событий.
34) Чему равна вероятность суммы двух несовместных событий?
Событие
называют независимым от события
, если появление события не меняет вероятности появления события , то есть если условная вероятность события равна его безусловной вероятности:
.
Свойство независимости событий взаимно: если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события .
Теорема.
Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятности этих событий:
.
Несколько событий называют попарно независимыми
, если каждые два из них независимы.
Несколько событий называют независимыми в совокупности
, если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.
35) Сформулируйте теорему сложения?
Вероятность р (А + В ) суммы событий А и В равна
Р (А + В ) = р (А ) + р (В ) – р (АВ ). (2.2)
Доказательство.
Докажем теорему сложения для схемы случаев. Пусть п – число возможных исходов опыта, т А – число исходов, благоприятных событию А , т В – число исходов, благопри-ятных событию В , а т АВ – число исходов опыта, при которых происходят оба события (то есть исходов, благоприятных произведению АВ ). Тогда число исходов, при которых имеет место событие А + В , равно т А + т В – т АВ (так как в сумме (т А + т В ) т АВ учтено дважды: как исходы, благоприятные А , и исходы, благоприятные В ). Следовательно, вероятность суммы можно определить по формуле 2,2 что и требовалось доказать.
Комбинаторика - это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиальновозможное количество различных вариантов развития событий.
Основная формула комбинаторики
Пусть имеется k групп элементов, причем i-я группа состоит из n i элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, определяется соотношением N=n 1 *n 2 *n 3 *...*n k .
Пример 1. Поясним это правило на простом примере. Пусть имеется две группы элементов, причем первая группа состоит из n 1 элементов, а вторая - из n 2 элементов. Сколько различных пар элементов можно составить из этих двух групп, таким образом, чтобы в паре было по одному элементу от каждой группы? Допустим, мы взяли первый элемент из первой группы и, не меняя его, перебрали все возможные пары, меняя только элементы из второй группы. Таких пар для этого элемента можно составить n 2 . Затем мы берем второй элемент из первой группы и также составляем для него все возможные пары. Таких пар тоже будет n 2 . Так как в первой группе всего n 1 элемент, всего возможных вариантов будет n 1 *n 2 .
Пример 2.
Сколько
трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если
цифры могут повторяться?
Решение:
n 1 =6
(т.к. в качестве первой цифры можно взять любую цифру из 1, 2, 3, 4, 5, 6), n 2 =7
(т.к. в качестве второй цифры можно взять любую цифру из 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6), n 3 =4 (т.к. в качестве третьей цифры можно взять любую цифру из 0, 2, 4,
6).
Итак, N=n 1 *n 2 *n 3 =6*7*4=168.
В том случае, когда все группы состоят из одинакового числа элементов, т.е. n 1 =n 2 =...n k =n можно считать, что каждый выбор производится из одной и той же группы, причем элемент после выбора снова возвращается в группу. Тогда число всех способов выбора равно n k . Такой способ выбора в комбинаторики носит название выборки с возвращением.
Пример 3.
Сколько всех четырехзначных чисел
можно составить из цифр 1, 5, 6, 7, 8?
Решение.
Для каждого разряда
четырехзначного числа имеется пять возможностей, значит N=5*5*5*5=5 4 =625.
Рассмотрим множество, состоящие из n элементов. Это множество в комбинаторике называется генеральной совокупностью .
Число размещений из n элементов по m
Определение 1. Размещением из n элементов по m в комбинаторике называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.
Пример 4. Различными размещениями из трех элементов {1, 2, 3} по два будут наборы (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3),(3, 2). Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и их порядком.
Число размещений в комбинаторике обозначается A n m и вычисляется по формуле:
Замечание: n!=1*2*3*...*n (читается: "эн факториал"), кроме того полагают, что 0!=1.
Пример 5
. Сколько существует двузначных
чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные
и нечетные?
Решение:
т.к. нечетных цифр
пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на
две разные позиции двух из пяти различных цифр, т.е. указанных чисел будет:
Определение 2. Сочетанием из n элементов по m в комбинаторике называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.
Пример 6 . Для множества {1, 2, 3}сочетаниями являются {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.
Число сочетаний из n элементов по m
Число сочетаний обозначается C n m и вычисляется по формуле:
Пример 7. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из шести имеющихся?
Решение: Число способов равно числу сочетаний из шести книжек по две, т.е. равно:
Перестановки из n элементов
Определение 3. Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.
Пример 7a. Всевозможными перестановками множества, состоящего из трех элементов {1, 2, 3} являются: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).
Число различных перестановок из n элементов обозначается P n и вычисляется по формуле P n =n!.
Пример 8. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?
Решение: эта задача о числе перестановок семи разных книг. Имеется P 7 =7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способов осуществить расстановку книг.
Обсуждение. Мы видим, что число возможных комбинаций можно посчитать по разным правилам (перестановки, сочетания, размещения) причем результат получится различный, т.к. принцип подсчета и сами формулы отличаются. Внимательно посмотрев на определения, можно заметить, что результат зависит от нескольких факторов одновременно.
Во-первых, от того, из какого количества элементов мы можем комбинировать их наборы (насколько велика генеральная совокупность элементов).
Во-вторых, результат зависит от того, какой величины наборы элементов нам нужны.
И последнее, важно знать, является ли для нас существенным порядок элементов в наборе. Поясним последний фактор на следующем примере.
Пример 9.
На родительском собрании
присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава
родительского комитета, если в него должны войти 5 человек?
Решение:
В этом примере нас
не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его
составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же
вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числа сочетаний
из 20 элементов по 5.
Иначе будут обстоять дела, если каждый член комитета изначально отвечает за определенное направление работы. Тогда при одном и том же списочном составе комитета, внутри него возможно 5! вариантов перестановок , которые имеют значение. Количество разных (и по составу, и по сфере ответственности) вариантов определяется в этом случае числом размещений из 20 элементов по 5.
Задачи для самопроверки
1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5,
6, если цифры могут повторяться?
2. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?
3. В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день?
4. Сколькими способами можно выбрать 4 делегата на конференцию, если в группе 20 человек?
5. Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по восьми различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?
6. Из трех математиков и десяти экономистов надо составить комиссию, состоящую из двух математиков и шести экономистов. Сколькими способами это можно сделать?
Следует отметить, что комбинаторика является самостоятельным разделом высшей математики (а не частью тервера) и по данной дисциплине написаны увесистые учебники, содержание которых, порой, ничуть не легче абстрактной алгебры. Однако нам будет достаточно небольшой доли теоретических знаний, и в данной статье я постараюсь в доступной форме разобрать основы темы с типовыми комбинаторными задачами. А многие из вас мне помогут;-)
Чем будем заниматься? В узком смысле комбинаторика - это подсчёт различных комбинаций, которые можно составить из некоторого множества дискретных объектов. Под объектами понимаются какие-либо обособленные предметы или живые существа - люди, звери, грибы, растения, насекомые и т.д. При этом комбинаторику совершенно не волнует, что множество состоит из тарелки манной каши, паяльника и болотной лягушки. Принципиально важно, что эти объекты поддаются перечислению - их три (дискретность) и существенно то, что среди них нет одинаковых.
С множеством разобрались, теперь о комбинациях. Самыми распространёнными видами комбинаций являются перестановки объектов, их выборка из множества (сочетание) и распределение (размещение). Давайте прямо сейчас посмотрим, как это происходит:
Перестановки, сочетания и размещения без повторений
Не пугайтесь малопонятных терминов, тем более, некоторые из них действительно не очень удачны. Начнём с хвоста заголовка - что значит «без повторений »? Это значит, что в данном параграфе будут рассматриваться множества, которые состоят из различных объектов. Например, … нет, кашу с паяльником и лягушкой предлагать не буду, лучше что-нибудь повкуснее =) Представьте, что перед вами на столе материализовалось яблоко, груша и банан (при наличии таковых ситуацию можно смоделировать и реально). Выкладываем фрукты слева направо в следующем порядке:
яблоко / груша / банан
Вопрос первый : сколькими способами их можно переставить?
Одна комбинация уже записана выше и с остальными проблем не возникает:
яблоко / банан / груша
груша / яблоко / банан
груша / банан / яблоко
банан / яблоко / груша
банан / груша / яблоко
Итого : 6 комбинаций или 6 перестановок .
Хорошо, здесь не составило особого труда перечислить все возможные случаи, но как быть, если предметов больше? Уже с четырьмя различными фруктами количество комбинаций значительно возрастёт!
Никаких мучений - 3 объекта можно переставить способами.
Вопрос второй : сколькими способами можно выбрать а) один фрукт, б) два фрукта, в) три фрукта, г) хотя бы один фрукт?
Зачем выбирать? Так нагуляли же аппетит в предыдущем пункте - для того, чтобы съесть! а) Один фрукт можно выбрать, очевидно, тремя способами - взять либо яблоко, либо грушу, либо банан.
Формальный подсчёт проводится по формуле количества сочетаний
:
Запись в данном случае следует понимать так: «сколькими способами можно выбрать 1 фрукт из трёх?»
б) Перечислим все возможные сочетания двух фруктов:
яблоко и груша;
яблоко и банан;
груша и банан.
Количество комбинаций легко проверить по той же формуле:
Запись понимается аналогично: «сколькими способами можно выбрать 2 фрукта из трёх?».
в) И, наконец, три фрукта можно выбрать единственным способом:
Кстати, формула количества сочетаний сохраняет смысл и для пустой выборки:
способом можно выбрать ни одного фрукта - собственно, ничего не взять и всё.
г) Сколькими способами можно взять хотя бы один
фрукт? Условие «хотя бы один» подразумевает, что нас устраивает 1 фрукт (любой) или 2 любых фрукта или все 3 фрукта:
способами можно выбрать хотя бы один фрукт.
Для ответа на следующий вопрос мне требуется два добровольца… …Ну что же, раз никто не хочет, тогда буду вызывать к доске =)
Вопрос третий : сколькими способами можно раздать по одному фрукту Даше и Наташе?
Для того чтобы раздать два фрукта, сначала нужно их выбрать. Согласно пункту «бэ» предыдущего вопроса, сделать это можно способами, перепишу их заново:
яблоко и груша;
яблоко и банан;
груша и банан.
Но комбинаций сейчас будет в два раза больше. Рассмотрим, например, первую пару фруктов:
яблоком можно угостить Дашу, а грушей - Наташу;
либо наоборот - груша достанется Даше, а яблоко - Наташе.
И такая перестановка возможна для каждой пары фруктов.
В данном случае работает формула количества размещений
:
Она отличается от формулы тем, что учитывает не только количество способов, которым можно выбрать несколько объектов, но и все перестановки объектов в каждой возможной выборке. Так, в рассмотренном примере, важно не только то, что можно просто выбрать, например, грушу и банан, но и то, как они будут распределены (размещены) между Дашей и Наташей.
Постарайтесь хорошо уяснить разницу между перестановками, сочетаниями и размещениями. В простейших случаях можно пересчитать все возможные комбинации вручную, но чаще всего это становится неподъемной задачей, именно поэтому и нужно понимать смысл формул.
Также напоминаю, что сейчас речь идёт о множестве с различными объектами, и если яблоко/грушу/банан заменить на 3 яблока или даже на 3 очень похожих яблока, то в контексте рассмотренной задачи они всё равно будут считаться различными .
Остановимся на каждом виде комбинаций подробнее:
Перестановки
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же различных объектов и отличающиеся только порядком их расположения. Количество всех возможных перестановок выражается формулой
Отличительной особенностью перестановок является то, что в каждой из них участвует ВСЁ множество, то есть, все объектов. Например, дружная семья:
Задача 1
Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?
Решение : используем формулу количества перестановок:
Ответ : 120 способами
Невероятно, но факт. Обратите внимание, что здесь не имеет значения круглый ли стол, квадратный, или вообще все люди сели на скамейку вдоль одной стены - важно лишь количество объектов и их взаимное расположение. Помимо перестановок людей, часто встречается задача о перестановках различных книг на полке, но это было бы слишком просто даже для чайника:
Задача 2
Сколько четырёхзначных чисел можно составить из четырёх карточек с цифрами 0, 5, 7, 9?
Для того чтобы составить четырёхзначное число нужно задействовать все четыре карточки (цифры на которых различны! ) , и это очень важная предпосылка для применения формулы Очевидно, что, переставляя карточки, мы будем получать различные четырёхзначные числа, … стоп, а всё ли тут в порядке? ;-)
Хорошенько подумайте над задачей! Вообще, это характерная черта комбинаторных и вероятностных задач - в них НУЖНО ДУМАТЬ. И зачастую думать по-житейски, как, например, в разборе вступительного примера с фруктами. Нет, конечно, я не призываю тупо прорабатывать другие разделы математики, однако должен заметить, что те же интегралы можно научиться решать чисто механически.
Решение и ответ в конце урока.
Увеличиваем обороты:
Сочетания
В учебниках обычно даётся лаконичное и не очень понятное определение сочетаний, поэтому, в моих устах формулировка будет не особо рациональной, но, надеюсь, доходчивой:
Сочетаниями
называют различные комбинации из объектов, которые выбраны из множества различных объектов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним объектом. Иными словами, отдельно взятое сочетание - это уникальная выборка из элементов, в которой не важен их порядок
(расположение). Общее же количество таких уникальных сочетаний рассчитывается по формуле 
.
Задача 3
В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?
Решение : прежде всего, снова обращаю внимание на то, что по логике условия, детали считаются различными - даже если они на самом деле однотипны и визуально одинаковы (в этом случае их можно, например, пронумеровать) .
В задаче речь идёт о выборке из 4-х деталей, в которой не имеет значения их «дальнейшая судьба» - грубо говоря, «просто выбрали 4 штуки и всё». Таким образом, у нас имеют место сочетания деталей. Считаем их количество:
Здесь, конечно же, не нужно ворочать огромные числа .
В похожей ситуации я советую использовать следующий приём: в знаменателе выбираем наибольший факториал (в данном случае ) и сокращаем на него дробь. Для этого числитель следует представить в виде . Распишу очень подробно:
Способами можно взять 4 детали из ящика.
Ещё раз: что это значит? Это значит, что из набора 15-ти различных деталей можно составить одну тысячу триста шестьдесят пять уникальных сочетания 4-х деталей. То есть, каждая такая комбинация из 4-х деталей будет отличаться от других комбинаций хотя бы одной деталью.
Ответ : 1365 способами
Формуле необходимо уделить самое пристальное внимание, поскольку она является «хитом» комбинаторики. При этом полезно понимать и без всяких вычислений записывать «крайние» значения: . Применительно к разобранной задаче:
Единственным способом можно взять ни одной детали;
способами можно взять 1 деталь (любую из 15-ти);
способами можно взять 14 деталей (при этом какая-то одна из 15-ти останется в ящике);
- единственным способом можно взять все пятнадцать деталей.
Рекомендую внимательно ознакомиться с биномом Ньютона и треугольником Паскаля , по которому, к слову, очень удобно выполнять проверку вычислений при небольших значениях «эн».
Задача 4
Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?
Это пример для самостоятельного решения. Чем приятны многие комбинаторные задачи, так это краткостью - главное, разобраться в сути. И суть, бывает, открывается с различных сторон. Разберём весьма поучительный пример:
Задача 4
В шахматном турнире участвует человек и каждый с каждым играет по 1-й партии. Сколько всего партий сыграно в турнире?
Поскольку я сам играю в шахматы и неоднократно принимал участие в круговых турнирах, то сразу же сориентировался по турнирной таблице размером клеток, в которой результат каждой партии учитывается дважды и, кроме того, затушёвываются клетки «главной диагонали» (т.к. участники не играют сами с собой) . Исходя из проведённых рассуждений, общее количество сыгранных партий рассчитывается по формуле . Такое решение полностью корректно (см. соответствующий файл банка готовых решений ) и на долгое время я забыл о нём по принципу «решено, да и ладно».
Однако один из посетителей сайта заметил, что на самом деле здесь можно руководствоваться самыми что ни на есть банальными сочетаниями:
различных пар можно составить из соперников (кто играет белыми, кто чёрными - не важно)
.
Эквивалентной является задача о рукопожатиях: в отделе работает мужчин и каждый с каждым здоровается за руку, сколько рукопожатий они совершают? К слову, шахматисты тоже пожимают друг другу руку перед каждой партией.
Ну а вывода тут два:
Во-первых, не всё очевидное - очевидно;
И во-вторых, не бойтесь решать задачи «нестандартно»!
Большое спасибо за ваши письма, они помогают улучшить качество учебных материалов!
Размещения
Или «продвинутые» сочетания. Размещениями называют различные комбинации из объектов, которые выбраны из множества различных объектов, и которые отличаются друг от друга как составом объектов в выборке, так и их порядком . Количество размещений рассчитывается по формуле
Что наша жизнь? Игра:
Задача 5
Боря, Дима и Володя сели играть в «очко». Сколькими способами им можно сдать по одной карте? (колода содержит 36 карт)
Решение : ситуация похожа на Задачу 4, но отличается тем, что здесь важно не только то, какие три карты будут извлечены из колоды, но и то, КАК они будут распределены между игроками. По формуле размещений:
Способами можно раздать 3 карты игрокам.
Есть и другая схема решения, которая, с моей точки зрения, даже понятнее:
способами можно извлечь 3 карты из колоды.
Теперь давайте рассмотрим, какую-нибудь одну из семи тысяч ста сорока комбинаций, например: король пик, 9 червей, 7 червей. Выражаясь комбинаторной терминологией, эти 3 карты можно «переставить» между Борей, Димой и Володей способами:
КП, 9Ч, 7Ч;
КП, 7Ч, 9Ч;
9Ч, КП, 7Ч;
9Ч, 7Ч, КП;
7Ч, КП, 9Ч;
7Ч, 9Ч, КП.
И аналогичный факт справедлив для любого уникального набора из 3-х карт. А таких наборов, не забываем, мы насчитали . Не нужно быть профессором, чтобы понять, что найденное количество сочетаний следует умножить на шесть:
Способами можно сдать по одной карте 3-м игрокам.
По существу, получилась наглядная проверка формулы , окончательный смысл которой мы проясним в следующем параграфе.
Ответ : 42840
Возможно, у вас остался вопрос, а кто же раздавал карты? …Наверное, преподаватель =)
И чтобы никому не было обидно, в следующей задаче примет участие вся студенческая группа:
Задача 6
В студенческой группе 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя?
Задача о «размещении» должностей в коллективе встречается очень часто и является самым настоящим баяном. Краткое решение и ответ в конце урока.
