№ 3. Вероятность того, что батарейка бракованная , равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
Решение. Вероятность того, что взятая наугад батарейка исправна, равна 1-0,06 = 0,94
Р = 0,94*0,94 - вероятность, что и первая и вторая исправны
Ответ: 0,8836
№ 4. Автоматическая линия изготавливает батарейки . Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная из упаковки батарейка будет забракована.
Решение.
Вероятность, что готовая батарейка исправна равна 1-0,02=0,98
Р1 = 0,02*0,99 = 0,0198 - вероятность, что неисправную батарейку забракуют
Р2 = 0,98*0,01 = 0,0098 - вероятность, что исправная батарейка будет забракована
Р=Р1+Р2 = 0,0296
Ответ: 0,0296
№ 5 Вероятности того, что деталь определенного типа находится в первом, втором, третьем или четвертом ящике, соответственно равны 0,6, 0,7, 0,8, 0,9. Найти вероятности того, что эта деталь находится не более, чем в трех ящиках.
Решение. Не более, чем в 3-х ящиках означает, что деталь находится в одном, двух или трех ящиках. Противоположное событие - деталь находится во всех четырех ящиках. Найдем вероятность этого противоположного события.
Р1 = 0,6*0,7*0,8*0,9 = 0,3024, тогда Р = 1- Р1 = 1 - 0,3024 = 0,6976
Ответ: 0,6976
№ 6. Вероятность того, что взятая наугад деталь из некоторой партии деталей, будет бракованной равна 0,2. Найти вероятность того, что из трех взятых деталей 2 окажутся не бракованными.
Решение. Вероятность, что деталь бракованная равна 0,2, что деталь без брака равна 1-0,2=0,8.
Р1= 0,2*0,8*0,8 = 0,128 - вероятность того, что первая деталь бракрованная, а вторая и третья нет.
Р2=0,8*0,23*0,8 = 0,128 - вторая бракованная, аналогично Р3=0,128 - третья бракованная.
Р = Р1+Р2+Р3 = 3*0,128 = 0,384
Онлайн тест ЕГЭ по математике 2016 Вариант №25. Тест соответствует Федеральным Государственным Образовательным стандартам 2016. Для проходжения теста в вашем браузере должна быть включена функция JavaScript. Ответ вводится в специальное поле. Ответом является целое число или десятичная дробь, например: 4,25 (разделение разряда только через запятую). Единицы измерения не пишутся. После ввода предположительного ответа, нажмите кнопку "Проверить". По ходу решения Вы можете наблюдать за количеством набранных баллов. Все баллы по заданиям распределены в соответствии с КИМ.
ЗАДАНИЯ ЧАСТИ В
|
Не получается? Посмотреть ответ
Не получается? Посмотреть ответ
|
Не получается? Посмотреть ответ
Не получается? Посмотреть ответ
Не получается? Посмотреть ответ
Элементы теории вероятностей. Случайные события
Цель изучения - развить навыки составления и анализа математических моделей несложных задач прикладного характера, связанных со случайными явлениями, научить способам вычисления вероятностей простых и сложных событий, методам оценки неизвестных параметров на основе экспериментальных данных, методам проверки гипотез и правилам принятия решений.
Данная тема включает в себя:
· Основные понятия и определения.
· Действия над случайными событиями.
· Классическое определение вероятности.
· Свойства вероятностей.
· Случайные величины.
Изучив эту тему, студент должен:
· правила вычисления вероятностей случайных событий;
· способы определения и построения законов распределения вероятностей случайных величин и вычисления их числовых характеристик.
· вычислять вероятности простых и сложных событий;
· находить необходимые характеристики случайных величин по известным законам.
В розыгрыше кубка страны по футболу берут участие 17 команд. Сколько существует способов распределить золотую, серебряную и бронзовую медали?
Поскольку медали не равноценны, то количество способов распределить золотую, серебряную и бронзовую медали среди команд будет равно числу размещений из 17-ти элементов по 3, т.е. = 4080.
Произведено три выстрела по мишени. Рассматриваются такие элементарные события: А – попадание в мишень при i-том выстреле; – промах по мишени при i-том выстреле. Выразить через А и следующие события:
А – все три попадания; В – ровно два попадания; С – все три промаха; D – хотя бы одно попадание; Е – больше одного попадания; F – не больше одного попадания.
А – все три попадания, т.е. совместное появления трех событий А 1 , А 2 и А 3
Р(А) = Р(А 1 и А 2 и А 3)
В – ровно два попадания, т.е. два попадания и один промах
Р(В) = Р( 1 и А 2 и А 3 или А 1 и 2 и А 3 или А 1 и 2 и А 3)
С – все три промаха, т.е. совместное появления трех событий 1 и 2 , 3
Р(С) = Р( 1 и 2 и 3)
D – хотя бы одно попадание, т.е. или одно попадание, или два попадания или три попадания
Р(D) = Р( 1 и 2 и А 3 или 1 и А 2 и 3 или А 1 и 2 и 3 ИЛИ 1 и А 2 и А 3 или А 1 и 2 и А 3 или А 1 и 2 и А 3 ИЛИ А 1 и А 2 и А 3)
или по формуле
Р(D) = 1 – Р( 1 и 2 и 3)
Е – больше одного попадания, т.е. или два попадания или три попадания
Р(Е) = Р( 1 и А 2 и А 3 или А 1 и 2 и А 3 или А 1 и 2 и А 3 или А 1 и А 2 и А 3)
F – не больше одного попадания, т.е. одно попадание и два промаха
Р(F) = Р( 1 и 2 и А 3 или 1 и А 2 и 3 или А 1 и 2 и 3)
Игральный кубик бросают два раза. Описать пространство элементарных событий. Описать события: А – сумма появившихся очков равна 8; В – по крайней мере один раз появится 6.
W={(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)}
А – сумма появившихся очков равна 8. Этому событию благоприятствуют такие элементарные события А={(2,6) (6,2) (5,3) (3,5) (4,4)}.
В – по крайней мере один раз появится 6. Этому событию благоприятствуют такие элементарные события В={(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)}.
В вазе с цветами 15 гвоздик: 5 белых и 10 красных. Из вазы наугад вынимают 2 цветка. Какова вероятность того, что эти цветки: а) оба белые; б) оба красные; в) разного цвета; г) одного цвета.
а) Пусть событие А состоит в том, что оба вынутых из вазы цветка белые.
= 7×15 = 105, а количество возможных способов взять 2 белых цветка из 5-ти белых равно 
= 2×5 = 10. Тогда по классическому определению вероятность события А равна
.
б) Пусть событие В состоит в том, что оба вынутых из вазы цветка красные.
Количество возможных способов взять 2 цветка из 15-ти равно , т.е. = 7×15 = 105, а количество возможных способов взять 2 красных цветка из 10-ти красных равно 
= 9×5 = 45. Тогда по классическому определению вероятность события В равна
.
в) Пусть событие С состоит в том, что оба вынутых из вазы цветка разного цвета, т.е. один белый и один красный.
Количество возможных способов взять 2 цветка из 15-ти равно , т.е. = 7×15 = 105, а количество возможных способов взять 1 красный цветок из 10-ти красных И 1 белый цветок из 5-ти белых равно * = 10×5 = 50. Тогда по классическому определению вероятность события С равна
.
г) Пусть событие D состоит в том, что оба вынутых из вазы цветка одного цвета, т.е. или оба белые (событие А) или оба красные (событие В). По теореме сложения независимых событий вероятность события D будет равна
Р(D) = Р(А или В) = Р(А) + Р(В) = 0,095 + 0,43 = 0,525
Из шести карточек с буквами I, С, К, Ь, Н, М наугад одну за другой вынимают и раскладывают в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что появится слово а) «НIС»; б) «CIM»?
Решение: (для пунктов а) и б) одинаково)
Каждый вариант получившегося «слова» является размещением из 6-ти элементов по 3. Число таких вариантов равно 
. Из этих вариантов правильным будет только один, т.е. m = 1, тогда по классическому определению вероятности
.
Вероятность того, что в течении одной смены возникнет поломка станка равна 0,05. Какова вероятность того, что не возникнет ни одной поломки за три смены?
Пусть событие А состоит в том, что в течении одной смены возникнет поломка станка. По условию задачи вероятность этого события равна Р(А) = 0,05. Противоположное событие состоит в том, что в течении одной смены поломка станка НЕ возникнет. Вероятность противоположного события
Р() = 1– Р(А) = 1 – 0,05 = 0,95.
Искомая вероятность равна
Р(В) = Р( и и ) = Р()×Р()×Р()= 0,95×0,95×0,95 = 0,95 3 = 0,86
Студент пришел на зачет зная только 30 вопросов из 50. Какова вероятность сдачи зачета, если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один?
Вероятность того, что преподаватель задал студенту вопрос, на который он не знал ответа (событие А) равна Р(А) = . Найдем вероятность того, что на второй вопрос преподавателя студент знает ответ (событие В) при условии, что ответа на первый вопрос студент не знал. Это условная вероятность, так как событие А уже произошло. Отсюда Р А (В) = . Искомую вероятность определим по теореме умножения вероятностей зависимых событий.
Р(А и В) = Р(А)* Р А (В) = = 0,24.
С помощью наблюдений установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из наугад взятых в этом месяце 8-ми дней 3 будут дождливыми?
Поскольку количество испытаний невелико (n = 8), то для нахождения вероятности того, что событие А появится точно k = 3 раза воспользуемся формулой Бернулли:
, где q = 1 – p
Значит вероятность ясного дня равна q = 1 – p = 1 – 6/15 = 9/15.
С помощью наблюдений установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 25 дней без дождя. Какова вероятность того, что 1-го и 2-го сентября дождя не будет?
Вероятность того, что 1-го сентября дождя не будет (событие А) равна Р(А) = . Найдем вероятность того, что и 2-го сентября дождя не будет (событие В) при условии, что 1-го сентября дождя не было. Это условная вероятность, так как событие А уже произошло. Отсюда Р А (В) = . Искомую вероятность определим по теореме умножения вероятностей зависимых событий.
Р(А и В) = Р(А)* Р А (В) = = 0,7.
Задача 10.
В условиях задачи 8 найти вероятность наивероятнейшего числа дней без дождя. (Задача 8. С помощью наблюдений установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из наугад взятых в этом месяце 8-ми дней 3 будут дождливыми?)
n·p – q ≤ m 0 ≤ n·p + p
По условию задачи 8 вероятность дня без дождя равна p = 9/15, значит вероятность дождливого дня равна q = 6/15. Составим неравенство
17,6 ≤ m 0 ≤ 18,6 Þ m 0 = 18
Наивероятнейшее число дней без дождя равно 18. Поскольку количество испытаний велико (n = 30) и нет возможности применить формулу Бернулли, то для нахождения вероятности наивероятнейшего числа дней без дождя воспользуемся локальной теоремой Лапласа:
.
По таблице значений функции Гаусса определяем, что j(0) = 0,3989. Теперь
» 0,15.
Задача 11.
Вероятность получения удачного результата при проведении сложного химического опыта равна 3/4. Найти вероятность шести удачных результатов в 10-ти опытах.
Поскольку количество испытаний невелико (n = 10), то для нахождения вероятности того, что событие А появится точно k = 6 раз воспользуемся формулой Бернулли:
, где q = 1 – p
По условию задачи p = 3/4, значит q = 1 – p = 1 – 3/4 = 1/4.
Задача 12.
Вероятность рождения мальчика равна 0,515, девочки – 0,485. В некоторой семье шестеро детей. Найти вероятность того, что среди низ не больше двух девочек.
Пусть событие А состоит в том, что в семье, где шестеро детей, не больше двух девочек, т.е. в указанной семье или одна девочка или две девочки или все мальчики. Поскольку количество испытаний невелико (n = 6), то для нахождения вероятности события А воспользуемся формулой Бернулли:
, где q = 1 – p
По условию задачи вероятность рождения девочки равна p = 0,485 и вероятность рождения мальчика равна q = 0,515, тогда искомая вероятность будет равна
Р(А) = Р 6 (0) + Р 6 (1) + Р 6 (2) = + + = 
0,018657 + 0,105421 + 0,248201 » 0,37228.
Задача 13.
Что вероятнее: выиграть у равносильного противника (включая ничью) три партии из пяти или пять из восьми?
Вероятность выиграть у равносильного противника равна p = 0,5, соответственно вероятность проиграть у равносильного противника равна q = 1 – p = 1 – 0,5 = 0,5.
Найдем и сравним такие вероятность Р 5 (3) и Р 8 (5)
Поскольку количество испытаний невелико (n = 5 и n = 8), то для нахождения вероятности того, что событие А появится точно k = 3 раза (k = 8 раз) воспользуемся формулой Бернулли:
, где q = 1 – p
10×0,03125 = 0,3125;
Сравнивая полученные значения вероятностей Р 5 (3) = 0,3125 > Р 8 (5) = 0,2186 получаем, что вероятнее выиграть у равносильного противника три партии из пяти чем пять из восьми.
Задача 13А.
Из партии, в которой 25 изделий, среди которых 6 бракованных, случайным образом выбрали 3 изделия для проверки качества. Найти вероятность того, что: а) все изделия годные, б) среди выбранных изделий одно бракованное; в) все изделия бракованные.
а) Пусть событие А состоит в том, что все выбранные изделия годные. Количество возможных способов взять 3 изделия из 25-ти равно , т.е. 
= 2300, а количество возможных способов взять 3 годных изделия из (25 – 6) = 19-ти годных равно 
= 1938. Тогда по классическому определению вероятность события А равна
.
б) Пусть событие В состоит в том, что среди выбранных изделий одно бракованное, т.е. одно бракованное и два годных. Количество возможных способов взять 3 изделия из 25-ти равно = 2300, а количество возможных способов взять одно бракованное изделие из 6-ти бракованных И два годных изделия из (25 – 6) = 19-ти годных равно * = 6×153 = 738. Тогда по классическому определению вероятность события В равна
.
в) Пусть событие С состоит в том, что все выбранные изделия бракованные. Количество возможных способов взять 3 изделия из 25-ти равно = 2300, а количество возможных способов взять 3 бракованные изделия из 6-ти бракованных равно 
= 20. Тогда по классическому определению вероятность события С равна
.
Задача 14.
В условиях задачи 13 найти наивероятнейшее число удачных опытов и вероятность его появления. (Задача 11. Вероятность получения удачного результата при проведении сложного химического опыта равна 3/4. Найти вероятность шести удачных результатов в 10-ти опытах).
Число m 0 называется наивероятнейшим в n независимых испытаниях, если вероятность наступления события А при этом числе наибольшая.
n·p – q ≤ m 0 ≤ n·p + p
По условию задачи 11 вероятность проведения удачного опыта равна p = 3/4, значит вероятность неудачного опыта равна q = 1/4. Количество опытов равно п = 10. Составим неравенство
7,25 ≤ m 0 ≤ 8,25 Þ m 0 = 8
Наивероятнейшее число удачных опытов равно 8. Поскольку количество испытаний невелико (n = 10), то для нахождения вероятности того, что событие А появится точно k = 8 раз воспользуемся формулой Бернулли:
, где q = 1 – p
Задача 15Б.
В белом ящике 12 красных и 6 синих шаров. В черном – 15 красных и 10 синих шаров. Бросают игральный кубик. Если выпадет количество очков, кратное 3, то наугад берут шар из белого ящика. Если выпадет любое другое количество очков, то наугад берут шар из черного ящика. Какова вероятность появления красного шара?
Возможны две гипотезы:
Н 1 – при бросании кубика выпадет количество очков, кратное 3, т.е. или 3 или 6;
Н 2 – при бросании кубика выпадет другое количество очков, т.е. или 1 или 2 или 4 или 5.
По классическому определению вероятности гипотез равны:
Р(Н 1) = 2/6 = 1/3; Р(Н 2) = 4/6 = 2/3.
Поскольку гипотезы составляют полную группу событий, то должно выполняться равенство
Р(Н 1) + Р(Н 2) = 1/3 + 2/3 = 1
Пусть событие А состоит в появлении красного шара. Условные вероятности этого события зависят от того, какая именно гипотеза реализовалась, и составляют соответственно:
Р(А|Н 1) = ; Р(А|Н 2) = .
Тогда по формуле полной вероятности
Р(А) = Р(Н 1)·Р(А|Н 1) + Р(Н 2)·Р(А|Н 2) +…+ Р(Н n)·Р(А|Н n)
вероятность события А будет равна:
Р(А) = 
= 0,62
Задача 16Б.
Вероятность появления события А по крайней мере один раз в 5-ти независимых испытаниях равна 0,9. Какова вероятность появления события А в одном испытании, если при каждом испытании она одинаковая?
Воспользуемся формулой для вероятности появления хотя бы одного события
Р(А) = 1 – q n
По условию задачи Р(А) = 0,9 и n = 5. Составим уравнение
q 5 = 1 – 0,9 = 0,1
0,63 – вероятность Не появления события А в одном испытании, тогда
р = 1 – q = 1 – 0,63 = 0,37 – вероятность появления события А в одном испытании.
Задача 17Б.
Из каждых 40-ка изделий, изготовленных станком-автоматом 4 бракованных. Наугад взяли 400 изделий. Найти вероятность того, что среди них 350 без дефекта.
Поскольку количество испытаний велико (n = 400) то для нахождения вероятности того, что событие А появится ровно k = 350 раз воспользуемся локальной теоремой Лапласа:
и j(х) – диф. функция Лапласа –Гаусса
По условию задачи вероятность бракованного изделия равна q = 4/40 = 0,1, Значит вероятность изделия без дефекта равна р = 1 – q = 1 – 0,1 = 0,9.
Определим аргумент функции Лапласа-Гаусса х: 
.
Учитывая что функция j(х) является четной, т.е. j(–х) = j(х) по таблице значений функции Гаусса определяем, что j(–1,67) = 0,0989. Теперь 
» 0,016.
Задача 18Б.
Вероятность присутствия студента на лекции равна 0,8. Найти вероятность того, что из 100 студентов на лекции будут присутствовать не меньше 75 и не больше 90.
Поскольку количество испытаний велико (n = 100), то для нахождения вероятности того, что событие А появится от 75 до 90 раз воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
и Ф(х) – интегральная функция Лапласа
Определим аргументы интегральной функции Лапласа х 1 и х 2:
= –1,25;
= 2,5.
Учитывая что функция Ф(х) является Нечетной, т.е. Ф(–х) = – Ф(х) по таблице значений интегральной функции Лапласа находим:
Ф(–1,25) = – Ф(1,25) = –0,39435 и Ф(2,5) = 0,49379, тогда
Р 100 (75 £ k £ 90) = Ф(х2) – Ф(х1) = Ф(2,5) – Ф(–1,25) = 0,49379 +0,39435 = 0,888.
Задача 19Б.
Сколько раз необходимо кинуть игральный кубик, чтобы нивероятнейшее число появления тройки равнялось 55?
Число m 0 называется наивероятнейшим в n независимых испытаниях, если вероятность наступления события А при этом числе наибольшая.
n·p – q ≤ m 0 ≤ n·p + p
По условию задачи т 0 = 55, вероятность появления тройки равна p = 1/6, значит вероятность НЕ появления тройки равна q = 5/6. Составим неравенство
получили линейную систему неравенств
П – 5 ≤ 330 п ≤ 335
П + 1 ≥ 330 п ≥ 329
Таким образом получили, что игральный кубик необходимо кинуть от 329 до 335 раз.
действие событие величина
Задача 20Б.
Ткач обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нитки на одном из веретен в течении одной минуты равна 0,005. Найти вероятность того, что в течении одно минуты обрыв произойдет на 7 веретенах.
Равна 0,515). Конец 19 в. и 1-я половина 20 в. отмечены открытием большого числа статистических закономерностей в физике, химии, биологии и т.п. Возможность применения методов теории вероятностей к изучению статистических закономерностей, относящихся к весьма далёким друг от друга областям науки, основана на том, что вероятности событий всегда удовлетворяют некоторым простым соотношениям, о...
Нашем примере: сила, с которой брошена монета, форма монеты и многие другие). Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны. Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет, она просто не в силах это сделать. Еще пример, выпадение снега в Москве 30 ноября является...
Проверить знания студента из первой части курса, которая излагается в первых четырёх модулях. Во вторых вопросах билета проверяются знания классической предельной проблемы теории вероятностей и математической статистики, которые излагаются в следующих пяти модулях. 1. Вероятностная модель с не более чем счётным числом элементарных исходов. Пример: испытания с равновозможными исходами. 2. ...
Вероятность произведения зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило, т. е.
P (A · B ) = P (A ) · P A (B ). (24)
Формула умножения вероятностей может быть распространена на любое число m зависимых событий A 1 , A 2 , … , A m :
P
(A
1 · A
2 ·…
· A m
) = P
(A
1) · P A
1 (A
2) ×
× P A
1 A
2 (A
3) ·…· P A
1A
2…A
m
–1 (A m
), (25)
Причем вероятность последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие произошли.
Пример 1.15. Для некоторой местности среднее число пасмурных дней в июле равно 6. Какова вероятность того, что первого и второго июля будет ясная погода?
Решение. Введем обозначения событий: A – «первого июля будет ясная погода»; B – «второго июля будет ясная погода»; A и B – события зависимы, AB – «первого и второго июля будет ясная погода».
Вероятность того, что первого июля будет ясная погода, равна . Вероятность того, что второго июля будет ясная погода, при условии, что первого июля была ясная погода, равна 
. Тогда искомая вероятность того, что первого и второго июля будет ясная погода, по теореме умножения вероятностей зависимых событий, равна 
.
Пример 1.16. Найти вероятность того, что наудачу написанная простая дробь сократится на 2.
Решение. Обозначим A – событие, заключающееся в том, что «дробь сократится на 2»; B – событие «числитель дроби делится на 2»; C – «знаменатель дроби делится на 2».
Так как каждое второе число делится на 2, то 
.
B и C – независимые события.
А
= В
· С
; 
.
Пример 1.17. Бросили монету и игральную кость. Какова вероятность того, что на монете выпал герб, а на кости – число очков, кратное 3?
Решение.
Пусть событие A
– «на монете выпал герб», событие
B
– «на игральной кости выпало число очков, кратное 3».
, 
.
Пусть событие C – «одновременное появление событий A и B ». Следовательно, C = A · B . Так как A и B события независимые, то вероятность появления события С равна
Пример 1.18.
Спортсмен стреляет по мишени, разделенной на
3 сектора. Вероятность попадания в первый сектор равна 0,4, во второй – 0,3. Какова вероятность попадания либо в первый, либо во второй сектор?
Решение.
Событие A
– «попадание в первый сектор», событие
B
– «попадание во второй сектор». Данные события несовместны (попадание в один сектор исключает попадание во второй).
Событие C – «попадание либо в первый, либо во второй сектор», т. е. С = A + B. Тогда Р (А + В ) = Р (А ) + Р (В ) = 0,4 + 0,3 = 0,7.
Пример 1.19. Монета подброшена три раза. Какова вероятность того, что цифра выпадет ровно 2 раза?
Решение. Пусть A k – «выпадение цифры при k -том подбрасывании монеты» (k = 1, 2, 3); A – «выпадение двух цифр при трех подбрасываниях». Тогда . Слагаемые в правой части этого равенства попарно несовместны, следовательно
Так как события A 1 , A 2 , A 3 – независимы, тогда
Пример 1.20. Найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число окажется кратным или 2, или 7, или тому и другому одновременно.
Решение.
Событие A
– «наудачу взятое двухзначное число кратно 2», событие B
– «наудачу взятое двухзначное число кратно 7». Найдем P
(C
) = P
(A
+ B
). Так как A
и B
– события совместные, то P
(A
+ B
) =
= P
(A
) + P
(B
) – P
(AB
).
Двухзначных чисел всего 90, из них 45 – кратны двум (являются четными) и благоприятствуют событию A ; 13 чисел кратны семи и благоприятствуют событию B ; 7 чисел кратны двум и семи одновременно и благоприятствуют событию AB .
; 
; 
.
Следовательно, 
.
Пример 1.21. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень стрелком при трех выстрелах равна 0,875. Какова вероятность попадания в мишень при одном выстреле?
Решение.
Вероятность хотя бы одного попадания в мишень при трех выстрелах (событие A
), согласно формуле (22), равна P
(A
) = 1 –
– q
3 , где q
– вероятность промаха. По условию P
(A
) = 0,875. Следовательно, 0,875 = 1 – q
3 или q
3 = 1 – 0,875, q
= 0,5. По формуле (18) определим вероятность появления события А
: p
= 1 – 0,5 = 0,5.
Однородные Марковские процессы.
1. Пусть {E 1 , E 2 , E 3 } – возможные состояния системы и P – матрица вероятностей перехода из состояния в состояние за один шаг:
Построить граф, соответствующий матрице Р.
2. На окружности расположены шесть точек E 1 , E 2 , E 3 , E 4 , E 5 , E 6 равноотстоящих друг от друга. Частица движется из точки в точку следующим образом. Из данной точки она перемещается в одну из ближайших соседних точек с вероятностью ¼ или в диаметрально противоположную точку с вероятностью ½. выписать матрицу вероятностей перехода для этого процесса и построить граф соответствующий этой схеме.
Ответ:
3. Погода на некотором острове через длительные периоды времени становится то дождливой (Д), то сухой (С). Вероятности ежедневных изменений заданы матрицей:
|
|
|
а) Если во вторник погода дождливая, то какова вероятность, что она будет дождливой в ближайший четверг?
б) если во вторник ожидается дождливая погода с вероятностью 0,3 (0,8), то какова вероятность, что она будет дождливой в ближайший четверг?
Ответ: I а) 0,61; б) 0,547; II - ?
4. Электрон может находиться на одной из счетного множества орбит в зависимости от наличной энергии. Переход с i-той орбиты на j-тую происходит за 1 секунду с вероятностью
Найти: а) вероятность перехода за 2 секунды
б) постоянную с i
Ответ: а)
Замечание: здесь рассматривается физический процесс с бесконечным (счетным) множеством состояний.
5. Рассмотрим Марковскую цепь с двумя состояниями S 1 и S 2 и матрицей вероятностей перехода.
.
С помощью особого устройства случайного
выбора выбирают состояние, с которого
начинается процесс. Это устройство
выбирает S 1 с вероятностью ½ и S 2 с вероятностью ½.
Требуется: а) найти вероятность того, что после первого шага этот процесс перейдет в состояние S 1 .
б) то же самое для случая, когда устройство выбирает S 1 с вероятностью ¼ и S 2 с вероятностью ¾.
6. В учениях участвуют два корабля, которые одновременно производят выстрелы друг в друга через равные промежутки времени. При каждом обмене выстрелами корабль А поражает корабль В с вероятностью ½, а корабль В поражает корабль А с вероятностью 3/8. Предполагается, что при любом попадании корабль выходит из строя. Рассматриваются результаты серии выстрелов. найти матрицу вероятностей перехода, если состояниями цепи являются комбинации кораблей, оставшихся в строю: S 1 – оба корабля в строю, S 2 – в строю корабль А, S 3 – в строю корабль В, S 4 – оба корабля поражены.
Ответ:
7. Матрица вероятностей перехода цепи Маркова имеет вид
а)
,
б)
Распределение по состояниям в момент времени t=0 определяется вектором: а) (0.7; 0.2;0;1) б) (0; 0; 0; 1)
распределение по состояниям в момент t=2;
вероятность того, что в моменты t=0; 1; 2; 3 состояниями цепи будут соответственно S 1 , S 2 , S 3 , S 4 ;
стационарное распределение
Ответ: 1) (0.385; 0.336; 0.279); 2) 0.3366; 3) (16.47;17.47; 14.47)
Указание: Найти P 2
8. Даны вектор начальных вероятностей (a 1 , a 2 , …,a r) и переходные вероятностиp ij (i,j=1, 2, …,r) цепи Маркова. Найти вероятность того, что в моменты времени n 1 , n 2 , …,n s состояниями цепи будут соответственноS i 1 ,S i 2 , …,S in .
Здесь моменты времени не обязательно являются соседними.
9. Доказать, что если для пи Маркова с матрицей вероятностей перехода (p ij) в качестве вектора начальных вероятностей взять предельные вероятности (b 1 ,b 2 , …,b n), то этот вектор не будет изменяться со временем.
10. В некоторой местности климат весьма изменчив. Здесь никогда не бывает двух одинаковых ясных дней подряд. Если сегодня ясно, то завтра с одинаковой вероятностью пойдет дождь или снег. Если сегодня снег (или дождь), то с вероятность ½ погода не измениться. Если все же она измениться, то в половине случаев снег заменяется дождем или наоборот и лишь в половине случаев на следующий день будет ясная погода.
Требуется:
а) принимая в качестве состояний цепи различные виды погоды Д, Я, С выписать матрицу Р вероятностей перехода;
б) построить граф, соответствующий матрице Р;
в) определить вероятность хорошей погоды через три дня после дождя.
г) найти предельные вероятности.
Ответ: а)
г) (0; 4; 0.2; 0.4)
12. Матрица вероятностей перехода
,1
Определить вероятности перехода p ij и средние предельные вероятности
перехода
,
i,j=1,2,3,4.
