Часто бывает, что в одной задаче B12 присутствует и функция, и формула. В таких задачах кроме основной переменной присутствуют дополнительные неизвестные, значения которых надо искать где-то в тексте.

Общая схема решения почти ничем не отличается от задач с формулами (см. урок «Работа с формулами в задаче B12 »). В двух словах: найти в тексте числа и подставить их в исходную формулу. Если все сделать правильно, получится стандартное уравнение с одной переменной.

Задача. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону:

где m 0 (мг) — начальная масса изотопа, t (мин) — время, прошедшее от начального момента, T (мин) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа m 0 = 56 мг. Период его полураспада T = 7 мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна 7 мг?

По условию, известны следующие величины: m 0 = 56; T = 7. Подставим их в функцию — получим m (t ) = 56 · 2 −t /7 . Требуется найти момент, когда m (t ) = 7 мг. Составим и решим уравнение:

56 · 2 −t /7 = 7;
2 −t /7 = 1/8 — разделили все на 56;
2 −t /7 = 2 −3 — представили 1/8 как 2 −3 ;
−t /7 = −3;
t = 21.

Задача. Для одного из предприятий-монополистов зависимость объема спроса на продукцию q (единиц в месяц) от ее цены p (тыс. руб.) задается формулой: q = 75 − 5p . Определите максимальный уровень p цены (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q · p составит не менее 270 тыс. руб.

Итак, у нас есть функция r = q · p , причем q — неизвестная величина. Более того, переменная q сама является функцией: по условию, q = 75 − 5p . Подставим это выражение в функцию r . Получим:

r = (75 − 5p ) · p = 75p − 5p 2 .

Теперь у нас есть функция, выражающая прибыль через цену. Все цены установлены в тысячах рублей — это следует из условия. Также, по условию, прибыль должна быть не менее 270 тыс. руб., поэтому можно написать r = 270. Составим и решим уравнение:

270 = 75p − 5p 2 ;
5p 2 − 75p + 270 = 0 — перенесли все влево;
p 2 − 15p + 54 = 0 — разделили все на 5;
... (решаем квадратное уравнение)
p 1 = 6; p 2 = 9.

Поскольку нас интересует наибольшая цена, выбираем p 2 = 9.

Задача. При температуре 0 °С рельс имеет длину l 0 = 20 метров. При прокладке путей между рельсами оставили зазор в 9 мм. При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и его длина будет меняться по закону l (t ) = l 0 · (1 + a · t ), где a = 1,2 · 10 −5 (°C) −1 — коэффициент теплового расширения, t — температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре зазор между рельсами исчезнет? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Изначально нам известны две величины: l 0 = 20 и a = 1,2 · 10 −5 . Самый тонкий момент — понять, чему равно l (t ). А именно: зазор исчезнет, когда рельс удлинится на эти самые 9 мм. Была длина 20 метров, а стала — 20 метров + 9 мм.

Переведем все в метрическую систему. В одном метре 1000 мм, поэтому 9 мм = 9 · 10 −3 м. Итого, l (t ) = 20 + 9 · 10 −3 . Оставим эту запись именно в таком виде, не будем складывать. Получилось уравнение:

20 + 9 · 10 −3 = 20 · (1 + 1,2 · 10 −5 · t ).

Раскроем скобки — и после очевидных преобразований уравнение станет совсем простым:

20 + 9 · 10 −3 = 20 + 20 · 1,2 · 10 −5 · t ;
9 · 10 −3 = 24 · 10 −5 · t — убрали с обеих сторон число 20.

Умножим обе стороны на 10 5 и получим:

9 · 10 −3 + 5 = 24 · 10 −5 + 5 · t ;
9 · 10 2 = 24t — обычное линейное уравнение;
t = 900/24 = 37,5.

Как видите, задача про рельсы оказалась довольно сложной. И многие, кто писал пробный ЕГЭ по математике, с этой задачей не справились. В большинстве случаев ученики забывали, что итоговая длина l (t ) — это сумма исходной длины l 0 и удлинения, которое еще надо перевести в метры.

Общие выводы из приведенных решений:

1. Иногда в задачах о радиоактивных изотопах указывают название вещества — не обращайте внимания на это. Хоть медь-64, хоть ксенон-133 — что угодно. Эти числа не участвуют в решении, а только засоряют текст задачи. Возможно, составители задач делают это намеренно;
2. В задачах о предприятиях-монополистах не стоит пугаться единиц измерений. Даже если это сотни тысяч рублей, не надо приписывать нули к указанным в задаче числам. Используйте то, что дано — и получите правильный ответ;
3. Когда речь идет о рельсах, важно понимать, что l (t ) — это длина всего рельса, а не только его удлинение. Само удлинение (или зазор) надо перевести в метры. Например, 4,5 мм — это 4,5 · 10 −3 м. Кроме того, не спешите складывать длину рельса и зазор. Лучше раскройте скобки — формула сложная, но объем вычислений сократится многократно. И не надо вычислять 10 −5 , а то получится одна стотысячная и будет очень грустно.

Сложные задачи B12

Но рельсы — это еще не все! Существуют еще более сложные задачи, требующие действительно грамотных размышлений. По сравнению с ними даже рельсы отдыхают. Вероятность нарваться на подобную задачу в настоящем ЕГЭ невелика, но знать, как они решаются, совершенно необходимо.

Рассмотрим две такие задачи. Они действительно предлагались на пробном ЕГЭ по математике. Справились с ними лишь единицы.

Задача. Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры:

где σ = 5,7 · 10 −8 — постоянная, площадь измеряется в квадратных метрах, температура — в градусах Кельвина, а мощность — в ваттах.

Известно, что некоторая звезда имеет площадь S = (1/128) · 10 20 м 2 , а излучаемая ею мощность P не менее 1,14 · 10 25 Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Ответ дайте в градусах Кельвина.

Конечно, формула с четвертой степенью и числа, содержащие степени десятки, выглядят угрожающе. Но в действительности все не так плохо. Нам известна мощность P , площадь S и постоянная σ . Подставим их в формулу — получим:

1,14 · 10 25 = 5,7 · 10 −8 · (1/128) · 10 20 · T 4 .

Единицы измерения не пишем — они только засоряют уравнение. Чтобы упростить решение, умножим обе стороны на 128, а затем по возможности сократим количество множителей. Имеем:

1,14 · 10 25 · 128 = 5,7 · 10 −8 · (1/128 ) · 10 20 · T 4 · 128 ;
1,14 · 128 · 10 25 = 5,7 · 10 −8 · 10 20 · T 4 — сократили множители, отмеченные красным ;
1,14 · 128 · 10 25 = 5,7 · 10 12 · T 4 ;
1,14 · 128 · 10 25 − 12 = 5,7 · 10 12 − 12 · T 4 — разделили все на 10 12 ;
1,14 · 128 · 10 13 = 5,7 · T 4 ;
1,14 · 128 · 10 13: 5,7 = 5,7 · T 4: 5,7 — делим все на 5,7;
0,2 · 128 · 10 13 = T 4 — потому что 1,14: 5,7 = 0,2;
2 · 10 −1 · 128 · 10 13 = T 4 — записали 0,2 = 2 · 10 −1 ;
256 · 10 12 = T 4 — группируем двойки и десятки;
T 4 = 10 12 · 2 8 — поскольку 256 = 2 8 ;
T = 10 3 · 2 2 = 1000 · 4 = 4000.

На последнем шаге мы находим корень 4-й степени. Напомню: извлечение корня понижает степени у каждого множителя.

Вообще говоря, действительных корней в уравнении будет два: T 1 = 4000 и T 2 = −4000. Но температура в Кельвинах не может быть отрицательной, поэтому второй вариант нас не интересует.

Задача. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону:

где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H 0 = 20 м — начальная высота столба воды, k = 1/50 — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с 2).

Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объема воды?

Для начала выясним, чему равно искомое H (t ). По условию, в баке должна остаться четверть первоначального объема воды. Поэтому H (t ) = (1/4) · 20 = 5 м.

Теперь, когда все параметры известны, подставим числа в функцию. Чтобы не усложнять выкладки, заметим следующее:

Таким образом, вместо корня можно смело писать число 20. Имеем:

5 = 20 − 20 · (1/50) · t + (10/2) · (1/50) 2 · t 2 ;
0 = 15 − 20 · (1/50) · t + 5 · (1/50) 2 · t 2 — перенесли все в одну сторону;
(1/50) 2 · t 2 − 4 · (1/50) · t + 3 = 0 — разделили все на 5.

Сделаем замену переменной: (1/50) · t = x . Тогда (1/50) 2 · t 2 = x 2 , и все уравнение перепишется следующим образом:

x 2 − 4x + 3 = 0;
(x − 3) · (x − 1) = 0 — корни квадратного уравнения легко угадываются без всякого дискриминанта (см. урок «Теорема Виета »);
x 1 = 3; x 2 = 1.

Теперь вспоминаем, что такое x . Поскольку мы выполняли замену x = (1/50) · t , имеем:

t = 50x ;
t 1 = 50 · 3 = 150;
t 2 = 50 · 1 = 50.

Итак, у нас два кандидата на ответ: числа 50 и 150. Заметим, что в момент времени t = 100 высота столба воды равна:

H (100) = 20 − 20 · (1/50) · 100 + 5 · (1/50) 2 · 100 2 = 20 − 40 + 20 = 0.

Другими словами, через t = 100 секунд вода полностью вытечет из бака, и уравнение H (t ) теряет физический смысл. Поэтому вариант t = 150 нас не интересует. Остается только t = 50.

В заключение хочу еще раз заострить внимание на последней задаче. Мы отсеяли корень t = 150, поскольку он расположен слишком далеко от старта — там, где исходная формула теряет всякий физический смысл. Сравните:

1. С точки зрения математики, перед нами стандартная квадратичная функция, график которой — парабола. И вполне нормально, что квадратное уравнение имеет два корня;
2. Но с точки зрения физики, после отметки t = 100 графика вообще не существует. Потому что через 100 секунд вода полностью вытекает из бака, и функция H (t ) перестает описывать рассматриваемый процесс. Все, что расположено дальше этой отметки — бред, который нас не интересует.

В задаче про звезды мы выбрали положительный корень, также руководствуясь физическим смыслом. Данные примеры наглядно демонстрируют, насколько опасно «увлекаться» математическими уравнениями без оглядки на реальные условия задач. Будьте внимательны!

При температуре 0 °C рельс имеет длину L0 = 10м. При прокладке путей между рельсами оставилизазор в 4,5 мм.

Зазор - это то расстояние, которое оставляют между рельсами, для того, чтобы они могли расширяться при нагревании. А нагревание происходит вследствие трения, возникающего при прохождении поезда по рельсам.

Выразим зазор в метрах: 4,5 мм = 4,5 · 10-3 м.

L(t°) = L0 + зазор - длина рельса при удлинении после нагревания на t°.

С другой стороны L(t°) = L0(1+α·t°). Приравняем правые части равенств, подставим данные величины, раскроем скобки, получим:

10 + 4,5·10-3 = 10 + 10·1,2·10-5 ·t° --> t°·12·10-5 = 4,5·10-3 --> t°=450 / 12 = 37,5°.

Ответ: 37,5

При температуре 0 °C рельс имеет длину L0 = 12,5м. При прокладке путей между рельсами оставили зазор в 6 мм.

При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и его длина будет меняться по закону L(t°) = L0 (1 +αt°), где α = 1,2·10-5 (°C)-1 — коэффициент теплового расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре между рельсами исчезнет зазор? (Ответ выразите в градусах Цельсия.)

При температуре 0 °C рельс имеет длину L0 = 15м. При прокладке путей между рельсами оставилизазор в 6,3 мм.

При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и его длина будет меняться по закону L(t°) = L0 (1 +αt°), где α = 1,2·10-5 (°C)-1 — коэффициент теплового расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре между рельсами исчезнет зазор? (Ответ выразите в градусах Цельсия.)

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения t небольших камушков в колодец и рассчитывая по формуле h = -5t2. До дождя время падения камушков составляло 0,6 с. На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше, чем на 0,2 с? (Ответ выразите в м.)

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения t небольших камушков в колодец и рассчитывая по формуле h = -5t2. До дождя время падения камушков составляло 1 с. На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше, чем на 0,2 с? (Ответ выразите в м.)

Ответ: 1,8.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения t небольших камушков в колодец и рассчитывая по формуле h = -5t2. До дождя время падения камушков составляло 0,8 с. На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше, чем на 0,1 с? (Ответ выразите в м.)

Ответ: 0,75.

Пусть h1 - уровень воды до дождя, h2 - уровень воды после дождя, t1 - время падения камешка до поверхности до дождя, t2 - время падения после дождя.

За нулевую отметку принимаем точку, лежащую на поверхности земли, тогда h1 и h2 - координаты уровней воды и они отрицательны, что можно видеть из формулы h = - 5t2.

После дождя уровень воды повысился на |h1 - h2| метра.

По условию t1=0,6c, а t2 уменьшилось более, чем на 0,2 с, т.е. t2 ≤ 0,4 c.

|h1 - h2| = | -5·t12 - (-5·t22)| = | -5·0,62 +5·0,42| = 5|0,62 - 0,42| = 5·0,2 = 1(метр).

h1=h(0,6) = -5*0,36= -1,8

h2=h(0,4) = -5*0,16 = -0,8

h2-h1 = -0,8-(-1,8) = 1

Т.е. после дождя прежний уровень повысится на 1 метр.

При температуре 0° С рельс имеет длину l0 = 20 м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l(t°) = l0(1 + a·t°), где a = 1,2·10-5(°C)-1 — коэффициент теплового расширения, t° — температура (в градусах Цельсия).

Удлинение рельса - это и есть зазор, только 3мм надо выразить в метрах.

l(t°) - l0 =0,003 --> 20(1 + 1,2·10-5 ·t°) - 20 = 0,003 --> 24·10-5 ·t° = 3·10-3 --> t°= 12.5°C

Часть 1.
При выполнении теста оценка не будет объективна, т.к. проверяются только задания В1 - В14.

В1. В книге Елены Молоховец «Подарок молодым хозяйкам» имеется рецепт пирога с черносливом. На 6 человек следует взять 2,5 фунта чернослива, ¼ фунта миндаля и 1 / 3 фунта сливочного масла. Сколько граммов чернослива следует взять для пирога, рассчитанного на 9 человек? Считайте, что 1 фунт равен 0,4кг.

Решение: .

B2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгороде за каждый месяц 1999 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько месяцев второго полугодия 1999 года средняя температура ниже 14 0 С.

Решение: .

B3. Периметр треугольника АВС равен 10. Найдите периметр треугольника FDE, вершинами которого являются середины сторон треугольника АВС.

Решение: .

B4. Для изготовления книжных полок требуется заказать 60 одинаковых стекол в одной из трех фирм. Площадь каждого стекла равна 0,15 м 2 . В таблице приведены цены на стекло и на резку стекол. Сколько рублей нужно заплатить за самый выгодный заказ?

Фирма	Стоимость стекла (руб. за 1м 2)	Резка стекла (руб. за одно стекло)
А	90	15
Б	80	20
В	140	бесплатно

Решение: .

B5. Найдите корень уравнения log 5 (x - 4) = 2.

Решение: .

В6. В треугольнике АВС АС = ВС = 5, sinA = 0,8. Найдите АВ

Решение: .

B7. Найдите значение выражения

Решение: .

B8. На рисунке изображен график функции у = f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой - 1. Найдите значение производной функции в точке х 0 = - 1.

Решение: .

B9 В прямоугольном параллелепипеде А…D 1 известно, что . Найдите угол между АС 1 и плоскостью АВС, если в основании параллелепипеда - квадрат.

Решение: .

В10. В среднем из каждых 50 поступивших в продажу аккумуляторов 48 аккумуляторов заряжены. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор не заряжен.

Решение: .

В11. В сосуд, имеющий форму конуса, налили 50 мл жидкости до половины высоты сосуда (см.рис.). Сколько миллилитров жидкости нужно долить в сосуд, чтобы заполнить его доверху?

Решение: .

B12. При температуре 0 0 С рельс имеет длину l 0 = 25 метров. При прокладке путей между рельсами оставили зазор в 12 мм. При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и его длина будет меняться по закону l (t 0) = l 0 (1 + A . t 0), где A = 1,2 . 10 -5 (С 0) -1 – коэффициент теплового расширения, t 0 – температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре между рельсами исчезнет зазор? (Ответ выразите в градусах Цельсия).

Решение: .

В13. Первая труба наполняет бак объемом 570 литров, а вторая труба – бак объемом 530 литров. Известно, что одна из труб пропускает в минуту на 4 л воды больше, чем другая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если баки были наполнены за одно и то же время?

Решение: .

В14. Найдите наименьшее значение функции y = 8 tgx - 8x - 2п + 5 на отрезке

Решение: .

С. Н. Маркова ,
, физфак МГУ им. М.В. Ломоносова, г. Москва

Готовимся к ЕГЭ по математике на уроках физики (или к ЕГЭ по физике на уроках математики)

Вот уже третий год обязательным ЕГЭ для всех выпускников средних школ России является экзамен по математике. В ЕГЭ этого года были внесены значительные изменения и добавлены 3 задачи (В1, В10 и В12 ), где проверяется умение «использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни». Радует тот факт, что среди заданий В10 и В12 очень много относящихся к физике, но часто учителя математики не могут правильно объяснить физический смысл вопросов, и решение становится «механическим». Целесообразно рассмотреть решение этих задач на уроках физики, тем более что это необходимо всем без исключения ученикам. Конечно, хорошо, что математики вообще вспомнили о физических задачах, однако некоторые из них вследствие явного отсутствия консультантов-физиков, приносят больше вреда, чем пользы, т. к. дают неверные представления о природных объектах или технических устройствах.

Предлагаем учителям физики типовые задачи из банка задач, опубликованных на сайте mathege.ru и в сборниках типовых вариантов, опубликованных МИОО и ФИПИ, рекомендации к их решению и ответы.

Задания B10

Все задачи этого варианта подразумевают простую подстановку числовых данных в приведённую формулу. Однако все они не лишены физического смысла и могут использоваться при повторении курса физики.

1 (раздел «Кинематика»). Из пункта А в пункт D ведут три дороги. Через пункт В едет грузовик со средней скоростью 44 км/ч, через пункт С едет автобус со средней скоростью 50 км/ч. Третья дорога – без промежуточных пунктов, и по ней движется легковой автомобиль со средней скоростью 62 км/ч. На рисунке показана схема дорог и расстояние между пунктами по дорогам. Все три автомобиля одновременно выехали из А . Какой автомобиль добрался до D позже других? В ответе укажите, сколько часов он находился в дороге.

Комментарии. Следует напомнить, что «средняя путевая скорость движения»:

Ответ. Грузовик; 2,75 ч.

2 (раздел «Гидростатика и гидродинамика»). В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплён кран. После его открывания вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону H(t) = 1,8 – 0,96t + 0,128 t 2 , где t - время в минутах. В течение какого времени вода будет вытекать из бака?

Комментарии. Почему вода будет вытекать из бака? Когда прекратится этот процесс?

Ответ. 3,75 мин.

3 (раздел «Электричество»). Зависимость температуры Т (в кельвинах) от времени t (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур задаётся выражением:

T(t) = T 0 + at + bt 2 ,

где T 0 = 1160 К, а = 34 К/мин, b = –0,2 К/мин 2 . Известно, что при температурах нагревателя свыше 2000 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах), через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.

Комментарии. Попробуйте объяснить, как «прибор может испортиться». Подставляя вместо Т(t) величину, равную 2000 К, получаем квадратное уравнение, решая которое, получаем искомое время.

Ответ. 30 мин.

4 (раздел «Термодинамика»). Коэффициент полезного действия некоторого двигателя определяется формулой При каком наименьшем значении температуры нагревателя Т 1 КПД этого двигателя будет не менее 80%, если температура холодильника Т 2 = 400 К.

Комментарии. Эта задача как раз из тех, которые дают неверные представления ученикам о механизмах явления. Любой учитель физики будет удивлён столь высоким значением КПД некоего двигателя. Ведь у паровоза за 150 лет «эволюции» смогли получить КПД только 5%! КПД современного автомобильного двигателя внутреннего сгорания достигает 35%, а водородного топливного элемента 45%. Обычный же КПД двигателей внутреннего сгорания составляет 20–30% (БСЭ). КПД классического атмосферного дизеля 30–35%, дизеля CDI или его аналогов – от 40%, современной паровой турбины (вид парового двигателя, преобразующего энергию пара в механическую) – до 65%.

Следует напомнить, что Т – это абсолютная температура по шкале Кельвина. Подставляя данные в формулу, получаем, что температура нагревателя будет равна 2000 К, что заставляет задуматься, из какого же материала выполнен данный двигатель? Видимо из тугоплавкого. К тугоплавким (температура плавления выше 1539 °С) металлам относятся: хром (температура плавления 1890 °С), молибден (2620 °С), ванадий (1900 °С), тантал (3015 °С) и многие другие металлы. Самый тугоплавкий металл – вольфрам, температура плавления 3420 °С.

Ответ. 2000 К.

5 (раздел «Электричество»). В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет 100 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите (в омах) наименьшее возможное сопротивление электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух резисторов сопротивлениями R 1 и R 2 их общее сопротивление даётся формулой а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 20 Ом.

Комментарии. Поскольку все величины в условии задачи даны в системе СИ, то подставим известные значения в приведенную формулу находим R 2 ≥ 25 Ом.

Ответ. 25 Ом.

6 (разделы «Оптика», «Астрономия»). Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела вычисляется по формуле P = σST 4 , где σ = 5,7 · 10 -8 , площадь S поверхности выражается в квадратных метрах, температура T – в кельвинах, а мощность – в ваттах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь S = (1/16) · 10 14 м 2 , а излучаемая ею мощность не менее 0,57 · 10 15 Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды (в кельвинах).

Комментарии. Как и в других задачах, нам надо подставить данные значения величин в приведённую формулу. После несложных вычислений получаем шокирующий результат – температура поверхности звезды равняется 200 К (т. е. –73 °С)!

Как известно, поверхностная температура звёзд варьируется в широких пределах. Существуют очень холодные звёзды, с температурой поверхности около 2000 К и очень горячие звезды, до 50 000 К. Поверхностная температура Солнца равна 5760 К. Поэтому представляется невозможным столь низкое значение температуры излучающей звезды. Ответ может привести к тому, что ученики, знающие астрономию, не запишут полученный результат, и оценка им соответственно будет снижена. Те же, кто астрономии не знает, будут в полной уверенности, что такие звёзды существуют.

Ответ. 200 К.

7 (раздел «Кинематика»). Камень брошен вертикально вверх. Пока он не упал, его высота описывается формулой h(t) = –5t 2 + 18t (h – высота в метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента броска). Найдите, сколько секунд камень находился на высоте не менее 9 м.

Комментарии. Записываем неравенство –5t 2 + 18t ≥ 9 и, решая его, получаем два значения для времени. вычитая из большего меньшее, получаем ответ: 2,4 с.

Ответ. 2,4 с.

8 (раздел «Ядерная физика»). Масса радиоактивного вещества уменьшается по закону В лаборатории получили вещество, содержащее в начальный момент времени m 0 = 12 мг изотопа иттрия-90, период полураспада которого Т = 64 ч. В течение скольких часов содержание изотопа иттрия-90 в веществе будет больше 3 мг?

Комментарии. Следует напомнить, что такое изотопы химического элемента, к каким элементам относится иттрий, что такое период полураспада. Далее подставляем в приведённую формулу числовые данные и получаем ответ: 128 ч.

Ответ. В течение 128 ч.

9 (раздел «Термодинамика», тема «Тепловое расширение тел»). При температуре 0 °С рельс имеет длину l 0 = 25 м. При прокладке путей оставили зазор между рельсами 12 мм. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина меняется по закону l (t °) = l 0 (1 + αt °), где α = 1,2 10 -5 (°С) -1 – коэффициент термического расширения, t – температура в градусах Цельсия. При какой минимальной температуре между рельсами исчезнет зазор? (Ответ выразите в градусах Цельсия.)