§4 Интерференция волн.

Принцип суперпозиции. Понятие о когерентности волн

Если в среде распространяется несколько волн одновременно, то колебания частиц среды равны геометрической сумме колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются, не возмущая друг друга - принцип суперпозиции (наложения) волн.

Две волны называются когерентными, если разность их фаз не зависит от времени

-
условие когерентности.

Источники когерентных волн называются когерентными источниками.

т.к. для когерентных источников разность начальных фаз , то амплитуда А рез в различных точках зависит от величины , называемой разностью хода. Если

то наблюдается максимум.

При

наблюдается минимум.

При наложении волн от когерентных источников наблюдаются минимумы и максимумы, результирующей амплитуды, т.е. взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление в других в зависимости от соотношения между фазами этих, волн - суть явления интерференции.

§5 Стоячие волны

Частным случаем интерференции являются стоячие волны - волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу волн с одинаковыми амплитудами н частотами.

Для вывода уравнения стоячей волны примем: 1) волны распространяются в среде без затухания; 2) А 1 = А 2 =А - имеют равные амплитуды; 3) ω 1 = ω 2 = ω - равные частоты; 4)φ 10 = φ 20 = 0.

Уравнение бегущей волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х (т.е. уравнение падающей волны):

(1)

Уравнение бегущей волны, распространяющейся в отрицательном направлении оси х (т.е. уравнение отраженной волны):

(2)

Сложив (1) и (2) получим уравнение стоячей волны:

Особенностью стоячей волны является то, что амплитуда зависит от координаты х . При перемещении от одной точки к другой амплитуда меняется по закону:

Амплитуда стоячей волны.

Те точки среды, в которых амплитуда стоячей волны максимальна и равна 2А , называются пучностями. Координаты пучностей можно найти из условия, что

отсюда

Расстояние между двумя соседними пучностями равно .

Точки, в которых амплитуда стоячей волны минимальна и равна 0 , называются узлами. Координата узлов можно найти из условия

отсюда

Расстояние между двумя соседними узлами равно .

В отличие от бегущей волна, все точки которой колеблются с одинаковой амплитудой, но с разными фазами, зависящими от координаты х точки (), точки стоячей волны между двумя узлами колеблется с разными амплитудами, но с одинаковыми фазами(). При переходе через узел множитель меняет свой знак, поэтому фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на π, т.е. точки лежащие по разные стороны от узла колеблются в противофазе.

Стоячая волна получается в результате интерференции падающей и отраженной волн. На характере отражения сказывается граница раздела двух сред, от которой происходит отражение. Если волна отражается от среды менее плотной (рис. а), то фаза волны на границе раздела не меняется и на границе раздела двух сред будет пучность. Если волна отражается от более плотной среды, то её фаза изменяет-ся на противоположную, т.е. отражение от более плотной среды происходит с потерей половины длины волны (λ/2). Бегущая волна переносит энергию колебательного движения в направлении распространения волны. Стоячая волна энергию не переносит, т.к. падаюшая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут одинаковую энергию в противоположных направлениях. Поэтому полная энергия результирующей стоячей волны, заключенной между узлами остается постоянной. Лишь в пределах расстояний равных λ/2 происходит превращение кинетической энергии в потенциальную.

Стоячие волны образуются при наложении двух одина-ковых волн, бегущих навстречу друг другу. Все, наверное, ви-дели стоячие волны в гитарных струнах. Когда в каком-либо месте оттягивают и отпускают струну, в разные стороны на-чинают разбегаться упругие поперечные волны, которые за-тем отражаются от концов струны и, накладываясь друг на друга, образуют стоячие волны (если при распространении и отражении нет затухания). Как это происходит?

При сложе-нии двух синусоидальных волн с одинаковыми частотой и ам-плитудой, но распространяющихся в разных направлениях оси x, получаем возмущение, которое описывается функцией

F(x, t) = f 0 sin(ωt — kx + φ 1) + f 0 sin(ωt + kx + φ 2) = 2 f 0 cos(kx + (φ 2 — φ 1) / 2) + (φ 1 + φ 2) / 2).

Это и есть уравнение стоячей волны . В каждой точке стоя-чей волны колебания осуществляются по гармоническому закону:

F(x, t) = F 0 sin (ωt + (φ 1 + φ 2) / 2.

Амплитуда колеба-ний

| F 0 | = 2 f 0 | cos(kx + (φ 2 — φ 1) / 2)|

зависит от координа-ты x . В точках, где kx + Δφ / 2 = (n + 1 / 2)π (n — целое чис-ло, Δφ = φ 1 — φ 2), амплитуда F 0 = 0. Такие точки называют узлами стоячей волны , колебания в них отсутствуют. Точ-ки, для которых амплитуда колебаний | F 0 | = 2 f 0 максималь-на, называют пучностями стоячей волны . Расстояние Δx между соседними узлами (или соседними пучностями) рав-но половине длины бегущих волн, из которых образовалась стоячая волна:

Δx = π / k = λ / 2.

В точках между двумя соседними узлами колебания проис-ходят в одинаковой фазе, а амплитуда изменяется от нуля до максимума (в пучности, которая расположена посереди-не между узлами) и опять до нуля. Материал с сайта

При переходе через узел фаза колебаний изменяется на π, так как меняется знак F 0 . В стоячей волне возмущение сре-ды обращается в нуль одновременно во всех точках, и одно-временно во всех точках возмущение достигает максималь-ного по величине значения. Так, звучащая струна через каждый полупериод выпрямляется, а через четверть перио-да после выпрямления принимает «наиболее изогнутую» форму.

Если наблюдать колебания только в одной точке, то невозможно сказать, какая волна — бегущая или стоя-чая — вызвала эти колеба-ния. Но если следить за ко-лебаниями в нескольких точках, то картины колеба-ний в бегущей и стоячей волнах будут совершенно различны. В плоской бегу-щей волне колебания в разных точках происхо-дят с одинаковой амплиту-дой, но в различных фазах. В стоячей волне колебания в разных точках происхо-дят с разными амплитуда-ми, но в одинаковой фазе. Поэтому при наблюдении «целой картины» спутать бегущую и стоячую волны, конечно, невозможно.

За удерживаемый конец резко дергают вверх и затем приводят его в исходное положение. Образовавшийся на трубке гребень движется вдоль трубки до стены, где он отражается. При этом отраженная волна имеет форму впадины, т. е. находится ниже среднего положения трубки, в то время как исходная пучность находилась выше. С чем связано это различие?

Представим конец резиновой трубки, закрепленный в стене. Поскольку он закреплен, он не может двигаться. Направленная вверх сила пришедшего импульса стремится заставить двигаться его вверх (см. рис.). Однако поскольку он не может двигаться, то должна присутствовать равная и противоположно направленная вниз сила, исходящая от опоры и приложенная к концу резиновой трубки, и поэтому отраженный импульс располагается пучностью вниз. Разность фаз отраженного и исходного импульсов равна 180°.

Когда рука, удерживающая резиновую трубку, движется вверх и вниз и частота движения постепенно увеличивается, то достигается точка, при которой получается одиночная пучность (рис. а). Дальнейшее увеличение частоты колебания руки приведет к образованию двойной пучности (рис. 6). Если вы прохронометрируете частоту движений руки, то вы увидите, что их частота удвоилась. Поскольку трудно двигать рукой более быстро, лучше применить механический вибратор (рис. в).

Металлический стержень внутри электромагнитной катушки вибрирует с частотой, управляемой генератором. Образованные волны называются стоячими или стационарными волнами . Они образуются, потому что отраженная волна накладывается на падающую. Это явление известно как . Здесь присутствуют две волны: падающая и отраженная. Они имеют одинаковые , но распространяются в противоположных направлениях. Это бегущие волны , но они интерферируют друг с другом и таким образом создают стоячие волны.



Это имеет такие последствия:

а) все частицы в каждой половине длины волны колеблются в фазе, т. е. все они движутся в одном направлении в одно время;

б) каждая частица имеет амплитуду, отличную от амплитуды следующей частицы;

в) разность фаз между колебаниями частиц одной полуволны и колебаниями частиц последующей полуволны равна 180°.

Это попросту означает, что они либо отклонены максимально в противоположные стороны в одно время, либо, если они оказываются в среднем положении, начинают двигаться в противоположных направлениях. Это показано на рисунке, где видно, что некоторые частицы (обозначенные N) не движутся (они имеют нулевую амплитуду), поскольку действующие на них силы всегда равны и противоположны.

Эти точки называются узловыми или узлами, и расстояние между двумя последующими узлами составляет половину длины волны, т. е. 1 / 2 λ.

Максимальное движение происходит в точках, обозначенных А, и амплитуда этих точек вдвое больше амплитуды падающей волны. Эти точки называются пучностями , и расстояние между двумя последующими пучностями составляет половину длины волны. Расстояние между узлом и следующей пучностью составляет одну четвертую длины волны, т. е. 1 / 4 λ.

Стоячая волна отличается от бегущей. В бегущей волне :

а) все частицы имеют одинаковую амплитуду колебаний;

Стоячие волны. 6.1 Стоячие волны в упругой среде

6.1 Стоячие волны в упругой среде

Согласно принципу суперпозиции, при распростране-нии в упругой среде одновременно нескольких волн воз-никает их наложение, причем волны не возмущают друг друга: колебания частиц среды являются векторной сум-мой колебаний, которые совершали бы частицы при рас-пространении каждой из волн в отдельности.

Волны, создающие колебания среды, разности фаз меж-ду которыми в каждой точке пространства постоянны, на-зываются когерентными .

При сложении когерентных волн возникает явление интерференции , заключающееся в том, что в одних точ-ках пространства волны усиливают друг друга, а в других точках – ослабляют. Важный случай интерференции наб-людается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой частотой и амплитудой . Возникающие при этом колебания называют стоячей волной . Чаще все-го стоячие волны возникают при отражении бегущей вол-ны от преграды. При этом падающая волна и отраженная навстречу ей волна при сложении дают стоячую волну.

Получим уравнение стоячей волны. Возьмем две плос-кие гармонические волны, распространяющиеся навстечу друг другу вдоль оси X и имеющие одинаковую частоту и амплитуду :

где – фаза колебаний точек среды при про-хождении первой волны;

– фаза колебаний точек среды при про-хождении второй волны.

Разность фаз в каждой точке на оси X не будет зави-сеть от времени, т.е. будет постоянной:

Следовательно, обе волны будут когерентными.

Возникшее в результате сложения рассматриваемых волн колебание частиц среды будет следующим:

Преобразуем сумму косинусов углов по правилу (4.4) и получим:

Перегруппировав множители, получим:

Для упрощения выражения выберем начало отсчета так, чтобы разность фаз и начало отсчета времени , чтобы и сумма фаз была равна нулю: .

Тогда уравнение для суммы волн примет вид:

Уравнение (6.6) называется уравнением стоячей вол-ны . Из него видно, что частота стоячей волны равна частоте бегущей волны, а амплитуда, в отличие от бегу-щей волны, зависит от расстояния от начала отсчета :

. (6.7)

С учетом (6.7) уравнение стоячей волны принимает вид:

. (6.8)

Таким образом, точки среды колеблются с частотой , совпадающей с частотой бегущей волны, и амплитудой a , зависящей от положения точки на оси X . Соответственно, амплитуда изменяется по закону косинуса и имеет свои максимумы и минимумы (рис. 6.1).

Для того, чтобы наглядно представить расположение минимумов и максимумов амплитуды заменим, согласно (5.29), волновое число его значением:

Тогда выражение (6.7) для амплитуды примет вид

(6.10)

Отсюда становится видно, что амплитуда смещения мак-симальна при , т.е. в точках, координата кото-рых удовлетворяет условию:

, (6.11)

где

Отсюда получаем координаты точек, где амплитуда сме-щения максимальна:

; (6.12)

Точки, где амплитуда колебаний среды максимальна, называются пучностями волны .

Амплитуда волны равна нулю в точках, где . Координата таких точек, называемых узлами волны , удов-летворяет условию:

, (6.13)

где

Из (6.13) видно, что координаты узлов имеют зна-чения:

, (6.14)

На рис. 6.2 показан примерный вид стоячей волны, от-мечено расположение узлов и пучностей. Видно, что со-седние узлы и пучности смещения отстоят друг от друга на одно и то же расстояние.

Найдем расстояние между соседними пучностями и уз-лами. Из (6.12) получаем расстояние между пучностями:

(6.15)

Расстояние между узлами получаем из (6.14):

(6.16)

Из полученных соотношений (6.15) и (6.16) видно, что расстояние между соседними узлами, как и между сосед-ними пучностями, постоянно и равно ; узлы и пуч-ности сдвинуты относительно друг друга на (рис. 6.3).

Из определения длины волны можно записать выра-жение для длины стоячей волны: она равна половине дли-ны бегущей волны:

Запишем, с учетом (6.17), выражения для координат уз-лов и пучностей:

, (6.18)

, (6.19)

Множитель , определяющий амплитуду стоя-чей волны, меняет свой знак при переходе через нулевое значение, вследствие чего фаза колебаний по разные сто-роны от узла отличается на . Следовательно, все точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в про-тивофазе. Все точки, находящиеся между соседними уз-лами, колеблются синфазно.

Узлы условно разделяют среду на автономные области, в которых гармонические колебания совершаются незави-симо. Никакой передачи движения между областями нет, и, значит, перетекания энергии между областями нет. То есть нет передачи возмущения вдоль оси . Поэтому волна называется стоячей.

Итак, стоячая волна образуется из двух противополож-но направленных бегущих волн равных частот и амп-литуд. Векторы Умова каждой из этих волн равны по мо-дулю и противоположны при направлению, и при сложе-нии дают ноль. Следовательно, стоячая волна энергии не переносит.

6.2 Примеры стоячих волн

6.2.1 Стоячая волна в струне

Расмотрим струну длиной L , закрепленную с обоих кон-цов (рис. 6.4).

Расположим вдоль струны ось X таким образом, чтобы левый конец струны имел координату x=0 , а правый – x=L . В струне возникают колебания, описываемые урав-нением:

Запишем граничные условия для рассматриваемой стру-ны. Поскольку её концы закреплены, то в точках с коор-динатами x=0 и x=L колебаний нет:

(6.22)

Найдем уравнение колебаний струны исходя из запи-санных граничных условий. Запишем уравнение (6.20) для левого конца струны с учетом (6.21):

Соотношение (6.23) выполняется для любого времени t в двух случаях:

1. . Это возможно в том случае, если коле-бания в струне отсутствуют (). Данный случай инте-реса не представляет, и мы его рассматривать не будем.

2. . Здесь фаза . Этот случай и позволит нам получить уравнение колебаний струны.

Подставим полученное значение фазы в граничное условие (6.22) для правого конца струны:

. (6.25)

Учитывая, что

, (6.26)

из (6.25) получим:

Снова возникают два случая, при которых выполняется соотношение (6.27). Случай, когда колебания в струне от-сутствуют (), мы рассматривать не будем.

Во втором случае должно выполняться равенство:

а это возможно, только когда аргумент синуса кратен це-лому числу :

Значение мы отбрасываем, т.к. при этом , а это означало бы или нулевую длину струны (L=0 ) или вол-новое число k=0 . Учитывая связь (6.9) между волновым числом и длиной волны видно, что для того, чтобы вол-новое число равнялось бы нулю, длина волны должна бы быть бесконечной, а это означало бы отсутствие колебаний.

Из (6.28) видно, что волновое число при колебаниях струны, закрепленной с обоих концов, может принимать только определенные дискретные значения:

Учитывая (6.9), запишем (6.30) в виде:

откуда волучаем выражение для возможных длин волн в струне:

Другими словами, на длине струны L должно уклады-ваться целое число n полуволн:

Соответствующие частоты колебаний можно опреде-лить из (5.7):

Здесь – фазовая скорость волны, зависящая, соглас-но (5.102), от линейной плотности струны и силы на-тяжения струны :

Подставив (6.34) в (6.33), получим выражение, описы-вающее возможные частоты колебаний струны:

, (6.36)

Частоты называют собственными частотами стру-ны. Частоту (при n = 1):

(6.37)

называют основной частотой (или основным тоном ) струны. Частоты, определяемые при n>1 называются обертонами или гармониками . Номер гармоники равен n-1 . Например, частота :

соответствует первой гармонике, а частота :

сответствует второй гармонике, и т.д. Поскольку струну можно представить в виде дискретной системы с беско-нечным числом степеней свободы, то каждая гармоника является модой колебаний струны. В общем случае коле-бания струны представляют собой суперпозицию мод.

Каждой гармонике соответствует своя длина волны. Для основного тона (при n= 1) длина волны:

соответственно для первой и второй гармоники (при n= 2 и n= 3) длины волн будут:

На рис.6.5 показан вид нескольких мод колебаний, осуществляемых струной.

Таким образом, струна с закрепленными концами реа-лизует в рамках классической физики исключительный случай – дискретный спектр частоты колебаний (или длин волн). Таким же образом ведет себя упругий стер-жень с одним или обоими зажатыми концами и колебания воздушного столба в трубах, что и будет рассмотрено в последующих разделах.

6.2.2 Влияние начальных условий на движение

непрерывной струны. Фурье-анализ

Колебания струны с зажатыми концами помимо дис-кретного спектра частот колебаний обладают еще одним важным свойством: конкретная форма колебаний струны зависит от способа возбуждения колебаний, т.е. от на-чальных условий. Рассмотрим подробней.

Уравнение (6.20), описывающее одну моду стоячей вол-ны в струне, является частным решением дифференциаль-ного волнового уравнения (5.61). Поскольку колебание стру-ны складывается из всех возможных мод (для струны – бес-конечное количество), то и общее решение волнового уравнения (5.61) складывается из бесконечного числа частных решений:

, (6.43)

где i – номер моды колебаний. Выражение (6.43) записа-но с учетом того, что концы струны закреплены:

а также с учетом связи частоты i -й моды и ее волнового числа:

(6.46)

Здесь – волновое число i -й моды;

– волновое число 1-й моды;

Найдем величину начальной фазы для каждой моды колебаний. Для этого в момент времени t=0 придадим струне форму, описываемую функцией f 0 (x) , выражение для которой получим из (6.43):

. (6.47)

На рис. 6.6 показан пример формы струны, описывае-мой функцией f 0 (x) .

В момент времени t=0 струна еще покоится, т.е. ско-рость всех ее точек равна нулю. Из (6.43) найдем выраже-ние для скорости точек струны:

и, подставив в него t=0 , получим выражение для скорос-ти точек струны в начальный момент времени:

. (6.49)

Поскольку в начальный момент времени скорость рав-на нулю, то выражение (6.49) будет равно нулю для всех точек струны, если . Из этого следует, что на-чальная фаза для всех мод тоже равна нулю (). С учетом этого выражение (6.43), описывающее движение струны, принимает вид:

, (6.50)

а выражение (6.47), описывающее начальную форму стру-ны, выглядит как:

. (6.51)

Стоячая волна в струне описывается функцией, перио-дичной на интервале , где равна двум длинам струны (рис. 6.7):

Это видно из того, что периодичность на интервале означает:

Следовательно,

что и приводит нас к выражению (6.52).

Из математического анализа известно, что любая пе-риодическая функция может быть разложена с высо-кой точностью в ряд Фурье:

, (6.57)

где , , – коэффициенты Фурье.

Рассмотрим результат интерференции двух синусоидальных плоских волн одинаковой амплитуды и частоты, распространяющихся в противоположных направлениях. Для простоты рассуждений допустим, что уравнения этих волн имеют вид:

Это означает, что в начале координат обе волны вызывают колебания в одинаковой фазе. В точке А с координатой х суммарное значение колеблющейся величины, согласно принципу суперпозиции (см. § 19), равно

Данное уравнение показывает, что в результате интерференции прямой и обратной волн в каждой точке среды (с фиксированной координатой происходит гармоническое колебание с той же частотой , но с амплитудой

зависящей от значения координаты х. В точках среды, в которых колебания отсутствуют вовсе: эти точки называются узлами колебаний.

В точках, где амплитуда колебаний имеет наибольшее значение, равное Эти точки называются пучностями колебаний. Легко показать, что расстояние между соседними узлами или соседними пучностями равно расстояние между пучностью и ближайшим узлом равно При изменении х на косинус в формуле (5.16) меняет знак на обратный (его аргумент изменяется на поэтому если в пределах одной полуволны - от одного узла до другого - частицы среды отклонились в одну сторону, то в пределах соседней полуволны частицы среды будут отклонены в противоположную сторону.

Волновой процесс в среде, описываемый формулой (5.16), называется стоячей волной. Графически стоячая волна может быть изображена так, как это показано на рис. 1.61. Допустим, что у есть смещение точек среды от состояния равновесия; тогда формула (5.16) описывает «стоячую волну смещения». В некоторый момент времени, когда все точки среды имеют максимальные смещения, направление которых в зависимости от величины координаты х определяется знаком Эти смещения показаны на рис. 1.61 сплошными стрелками. Спустя четверть периода, когда смещения всех точек среды равны нулю; частицы среды проходят через линию с различными скоростями. Спустя еще четверть периода, когда частицы среды опять будут иметь максимальные смещения, но противоположного направления; эти смещения показаны на

рис. 1.61 пунктирными стрелками. Точки суть пучности стоячей волны смещения; точки узлы этой волны.

Характерные особенности стоячей волны в отличие от обычной распространяющейся, или бегущей, волны следующие (имеются в виду плоские волны при отсутствии затухания):

1) в стоячей волне амплитуды колебаний различны в различных местах системы; в системе имеются узлы и пучности колебаний. В «бегущей» волне эти амплитуды везде одинаковы;

2) в пределах участка системы от одного узла до соседнего все точки среды колеблются в одинаковой фазе; при переходе к соседнему участку фазы колебаний меняются на обратные. В бегущей волне фазы колебаний, согласно формуле (5.2), зависят от координат точек;

3) в стоячей волне нет одностороннего переноса энергии, как это имеет место в бегущей волне.

При описании колебательных процессов в упругих системах за колеблющуюся величину у можно принять не только смещение или скорости частиц системы, но и величину относительной деформации или величину напряжения на сжатие, растяжение или сдвиг и т. д. При этом в стоячей волне, в местах, где образуются пучности скоростей частиц, располагаются узлы деформаций и, наоборот, узлы скоростей совпадают с пучностями деформаций. Преобразование энергии из кинетической формы в потенциальную и обратно происходит в пределах участка системы от пучности до соседнего узла. Можно считать, что каждый такой участок не обменивается энергией с соседними участками. Заметим, что превращение кинетической энергии движущихся частиц в потенциальную энергию деформированных участков среды за один период происходит дважды.

Выше, рассматривая интерференцию прямой и обратной волн (см. выражения (5.16)), мы не интересовались происхождением этих волн. Допустим теперь, что среда, в которой происходит распространение колебаний, имеет ограниченные размеры, например колебания вызываются в каком-нибудь сплошном теле - в стержне или струне, в столбе жидкости или газа и т. д. Волна, распространяющаяся в такой среде (теле), отражается от границ, поэтому в пределах объема этого тела непрерывно происходит интерференция волн, вызванных внешним источником и отраженных от границ.

Рассмотрим простейший пример; допустим, в точке (рис. 1.62) стержня или струны при помощи внешнего синусоидального источника возбуждается колебательное движение с частотой ; начало отсчета времени выберем так, чтобы в этой точке смещение выражалось формулой

где амплитуда колебаний в точке Вызванная в стержне волна отразится от второго конца стержня 0% и пойдет в обратном

направлении. Найдем результат интерференции прямой и отраженной волн в некоторой точке стержня имеющей координату х. Для простоты рассуждений предположим, что в стержне нет поглощения энергии колебаний и поэтому амплитуды прямой и отраженной волн равны.

В некоторый момент времени когда смещение колеблющихся частиц в точке равно у, в другой точке стержня смещение вызванное прямой волной будет, согласно формуле волны, равно

Через эту же точку А проходит также и отраженная волна. Чтобы найти смещение вызванное в точке А отраженной волной (в тот же самый момент времени необходимо рассчитать время в течение которого волна пройдет путь от до и обратно до точки Так как то смещение, вызванное в точке отраженной волной, будет равно

При этом предполагается, что на отражающем конце стержня в процессе отражения не происходит скачкообразного изменения фазы колебания; в некоторых случаях такое изменение фазы (называемое потерей фазы) имеет место и должно быть учтено.

Сложейие колебаний, вызванных в различных точках стержня прямой и отраженной волнами, дает стоячую волну; действительно,

где некоторая постоянная фаза, не зависящая от координаты х, а величина

является амплитудой колебаний в точке она зависит от координаты х, т. е. различна в различных местах стержня.

Найдем координаты тех точек стержня, в которых образуются узлы и пучности стоячей волны. Обращение косинуса в нуль или единицу происходит при значениях аргумента, кратных

где целое число. При нечетном значении этого числа косинус обращается в нуль и формула (5.19) дает координаты узлов стоячей волны; при четных мы получим координаты пучностей.

Выше было произведено сложение только двух волн: прямой, идущей от и отраженной, распространяющейся от Однако следует учесть, что отраженная волна на границе стержня вновь отразится и пойдет в направлении прямой волны. Таких отражений

от концов стержня будет много, и поэтому необходимо найти результат интерференции не двух, а всех одновременно существующих в стержне волн.

Предположим, что внешний источник колебаний вызывал в стержне волны в течение некоторого времени после чего поступление энергии колебаний извне прекратилось. За это время в стержне произошло отражений, где время, в течение которого волна прошла от одного конца стержня к другому. Следовательно, в стержне будет одновременно существовать волн, идущих в прямом, и волн, идущих в обратном направлениях.

Допустим, что в результате интерференции одной пары волн (прямой и отраженной) смещение в точйе А оказалось равным у. Найдем условие, при котором все смещения у, вызываемые каждой парой волн, имеют в точке А стержня одинаковые направления и поэтому складываются. Для этого фазы колебаний, вызванных каждой парой волн в точке должны отличаться на от фазы колебаний, вызванных следующей парой волн. Но каждая волна вновь возвращается в точку А с тем же направлением распространения лишь спустя время т. е. отстает по фазе на со приравнивая это отставание где целое число, получаем

т. е. вдоль длины стержня должно уместиться целое число полуволн. Заметим, что этом условии фазы всех волн, идущих от в прямом направлении, отличаются друг от друга на где целое число; точно так же фазы всех волн, идущих от в обратном направлении, отличаются друг от друга на Поэтому, если одна пара волн (прямая и обратная) дает вдоль стержня распределение смещений, определяемое формулой (5.17), то при интерференции пар таких волн распределение смещений не изменится; увеличатся только амплитуды колебаний. Если максимальная амплитуда колебаний при интерференции двух волн, согласно формуле (5.18), равна то при интерференции многих волн она будет больше. Обозначим ее через тогда распределение амплитуды колебаний вдоль стержня вместо выражения (5.18) определится по формуле

Из выражений (5.19) и (5.20) определяются точки, в которых косинус имеет значения или 1:

где целое число Координаты узлов стоячей волны получатся из этой формулы при нечетных значениях тогда в зависимости от длины стержня, т. е. величины

координаты пучностей получатся при четных значениях

На рис. 1.63 схематически показана стоячая волна в стержне, длина которого ; точки суть пучности, точки узлы этой стоячей волны.

В гл. было показано, что при отсутствии периодических внешних воздействий характер кодебательных движений в системе и прежде всего основная величина - частота колебаний - определяются размерами и физическими свойствами системы. Каждая колебательная система обладает собственным, ей присущим колебательным движением; это колебание можно наблюдать, если вывести систему из состояния равновесия и затем устранить внешние воздействия.

В гл. 4 ч. I рассматривались преимущественно колебательные системы с сосредоточенными параметрами, в которых инертной массой обладали одни тела (точечные), а упругими свойствами - другие тела (пружины). В отличие от них колебательные системы, в которых масса и упругость присущи каждому элементарному объему, называются системами с распределенными параметрами. К ним относятся рассмотренные выше стержни, струны, а также столбы жидкости или газа (в духовых музыкальных инструментах) и т. д. Для таких систем собственными колебаниями являются стоячие волны; основная характеристика этих волн - длина волны или распределение узлов и пучностей, а также частота колебаний - определяется только размерами и свойствами системы. Стоячие волны могут существовать и при отсутствии внешнего (периодического) воздействия на систему; это воздействие необходимо только для того, чтобы вызвать или поддержать в системе стоячие волны или же изменить амплитуды колебаний. В частности, если внешнее воздействие на систему с распределенными параметрами происходит с частотой, равной частоте ее собственных колебаний, т. е. частоте стоячей волны, то имеет место явление резонанса, рассмотренное в гл. 5.

Для различных частот одинакова.

Таким образом, у систем с распределенными параметрами собственные колебания - стоячие волны - характеризуются целым спектром частот, кратных между собой. Наименьшая из этих частот, соответствующая наибольшей длине волны называется основной частотой; остальные ) - обертонами или гармониками.

Каждая система характеризуется не только наличием такого спектра колебаний, но и определенным распределением энергии между колебаниями различных частот. Для музыкальных инструментов это распределение придает звуку своеобразную особенность, так называемый тембр звука, различный для различных инструментов.

Изложенные выше расчеты относятся к свободному колеблющемуся" стержню длиной Однако обычно мы имеем стержни, закрепленные на одном или обоих концах (например, колеблющиеся струны), или же вдоль стержня имеется одна или несколько точек закрепления. Места закрепления, где частицы системы не могут совершать колебательного движения, являются вынужденными узлами смещения. Например,

если в стержне необходимо получить стоячие волны при одной, двух, трех точках закрепления и т. д., то эти точки не могут быть выбраны произвольно, а должны располагаться вдоль стержня так, чтобы они оказались в узлах образовавшейся стоячей волны. Это показано, например, на рис. 1.64. На этом же рисунке пунктиром показаны смещения точек стержня при колебаниях; на свободных концах всегда образуются пучности смещения, на закрепленных - узлы смещения. Для колеблющихся воздушных столбов в трубах узлы смещения (и скорости) получаются у отражающих твердых стенок; на открытых концах трубок образуются пучности смещений и скоростей.